Mathematik verstehen 5, Schulbuch

87 KOMPEtENZchEck AUfgabEN vOM TyP 2 4 . 92 Astronomische Entfernungen Mit hilfe der Trigonometrie und technischen Messgeräten, wie wir sie heute kennen, können Entfernungen wie Erde –Sonne, Erde –Mond, Mond–Sonne, Erde – Fixstern usw. sowie Winkelmaße in diesem Zusammenhang (zB Sehwinkel) relativ einfach berechnet werden. Ermittlungen von Distanz- bzw. Größenerhältnissen gab es schon vor ca. 2000 Jahren. So stellte der Astronom Aristarch von Samos (3. Jh. v. Chr.) bereits Überlegungen an, wie man die vorhin erwähnten Distanzen miteinander vergleichen könnte. Wir wissen also nicht erst seit Beginn der Raumfahrt um diese Größen Bescheid. a) An einem bestimmten Tag des Jahres ist ein Beobachter auf der Erde 149,5 · 10 6 km vom Sonnenmittelpunkt entfernt und sieht die Sonne unter dem Sehwinkel α ≈ 0,517°. Stelle eine Formel zur Berechnung des Sonnendurchmessers d S auf! d S = Die Erde bewegt sich annähernd auf einer Kreisbahn mit dem mittleren Radius r ≈ 1,496 · 10 11 m um die Sonne. Astronomische Messungen ergeben, dass sich im Lauf eines halben Jahres die Blickrichtung zu dem uns nächstgelegenen Fixstern Proxima Centauri um den Winkel ε ≈ 0,0004289° ändert. Berechne die ungefähre Entfernung des Fixsterns Proxima Centauri von der Sonne und gib diese in Lichtjahren an! (1 Lichtjahr = 1 Lj ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt; die Lichtgeschwindigkeit beträgt ca. 3 · 10 8 m/s.) b) Aristarch von Samos stellte folgende Überlegung an, um die Entfernung Erde–Sonne mit der Entfernung Erde–Mond vergleichen zu können. Bei halbmond bilden Erde, Mond und Sonne ein rechtwinkeliges Dreieck. Aristarch schätzte den Winkel ε auf mindestens 87°. Gib aufgrund von Aristarchs Schätzung für ε an, wievielmal weiter die Erde von der Sonne als vom Mond entfernt ist! Tatsächlich ist die Erde etwa 400-mal weiter von der Sonne als vom Mond entfernt. Gib einen korrekteren Wert für ε an! AG-R 2 .1 AG-R 4 .1 Sonne Erde α Sonne r r Erdbahn ε Proxima Centauri Sonne Erde ε Mond Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv