Mathematik verstehen 5, Schulbuch

83 4 . 3 BEZ IEhUNgEN ZWIschEN SINUs , COsINUs UNd TaNgENs 4 . 3 BEZIEhUNgEN ZWIschEN SINUs, COsINUs UNd TaNgENs Wichtige Zusammenhänge Wir schreiben sin 2 φ statt (sin φ ) 2 und cos 2 φ statt (cos φ ) 2 . Satz Für 0° < φ < 90° gilt: (1) tan φ = sin φ _ cos φ (3) sin (90° – φ) = cos φ (2) sin 2 φ + cos 2 φ = 1 (4) cos (90° – φ) = sin φ BEWEIs : Anhand der Abbildung erkennt man: (1) sin φ _ cos φ = G _ h _ A _ h = G _ A = tan φ (2) sin 2 φ + cos 2 φ = 2 G _ h 3 2 + 2 A _ h 3 2 = G 2 _ h 2 + A 2 _ h 2 = G 2 + A 2 _ h 2 = h 2 _ h 2 = 1 (3) sin (90° – φ) = A _ h = cos φ (4) cos (90° – φ) = G _ h = sin φ  Sinus und Cosinus von besonderen Winkeln Als Grenzfälle kann man sin α und cos α für α = 0° und α = 90° definieren: Für α = 0° ist G = 0 und A = h. Somit setzt man sin0° = 0 _ h = 0 und cos 0° = h _ h = 1 Für α = 90° ist G = H und A = 0. Somit setzt man sin90° = h _ h = 1 und cos 90° = 0 _ h = 0 Die Werte von sin φ und cos φ für φ = 0°, 30°, 45°, 60°, 90° kann man sich leicht mit der nebenstehend abgebildeten „Einhalb mal Wurzel-Regel“ merken. Diese Regel ergibt sich anhand der folgenden Abbildungen: AUfgabEN 4 . 78 Überprüfe die Formeln des obigen Satzes für a) φ = 30°, b) φ = 45°! 4 . 79 a) Drücke sin φ durch cos φ aus! c) Drücke tan φ durch sin φ aus! b) Drücke cos φ durch sin φ aus! d) Drücke tan φ durch cos φ aus! 4 . 80 Welche Gleichungen sind für 0° < φ < 90° richtig? Kreuze an! R A h G φ 90 ° – φ L φ sin φ 0° 1 _ 2 · 9 _ 0 90° 30°  1 _ 2 · 9 _ 1 60° 45°  1 _ 2 · 9 _ 2 45° 60°  1 _ 2 · 9 _ 3 30° 90° 1 _ 2 · 9 _ 4 0° cos φ φ h 30° 45° a a a d a 2 _ h 60° a a 2 _ R cos φ · tan φ = sin φ  cos φ · (1 – tan φ ) = sin φ + cos φ  1 – cos φ __ sin φ = sin φ __ 1 + cos φ  cos 2 φ · tan φ = sin φ · cos φ  sin φ · tan φ = 1 – cos 2 φ __ cos φ  Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv