Mathematik verstehen 5, Schulbuch

81 4 . 2 ANWENdUNgEN vON SINUs , COsINUs UNd TaNgENs AUfgabEN 4 . 62 von einem 120m hohen Turm an der Küste des Meeres sieht man eine Insel unter einem Tiefen- winkel von 19°. Wie weit ist die Insel vom Turm entfernt? 4 . 63 Auf einem waagrechten Platz steht ein Gebäude mit einem Fenster. Ein Beobachter, dessen Augenhöhe 1,70m beträgt und der 30m von dem Gebäude entfernt ist, sieht die Unterkante des Fensters unter dem höhenwinkel α = 21,8° und dessen Oberkante unter dem Höhenwinkel β = 24,2°. Wie hoch ist das Fenster und wie hoch ist die Unterkante über dem Platz? 4 . 64 Die höhe eines hügels soll vermessen werden. Die höhe des Messinstruments (Theodoliten) beträgt H = 1,80m, die Höhe der Messlatte h = 0,95m. Man misst r = 423m und die „Zenitdistanz“ θ = 55,83°. Berechne die waagrechte Entfernung x des Mess- instruments von der Messlatte sowie die höhe y des Lattenfußpunkts! 4 . 65 von einem Ort A mit der Seehöhe 164m aus wird ein Sendemast BC vermessen, der sich auf dem Gipfel eines Berges mit der Seehöhe 542m befindet. Der Fußpunkt B des Sendemastes erscheint unter dem höhenwinkel α = 14,14°, die Spitze C unter dem höhenwinkel β = 15,46°. Wie hoch ist der Sendemast? 4 . 66 Ein mit 250 km/h fliegendes Flugzeug steuert einen Landeplatz an. Seine Flugrichtung bildet mit der Horizontalen einen Winkel von 9°. Um wie viel Meter sinkt es pro Sekunde? 4 . 67 Ein von der Dachkante des schiefen Turms von Pisa losgelassener Stein schlägt nach 3,1 s genau 4,5m vom Turm entfernt am Boden auf. Unter welchem Winkel ist der Turm gegen das Lot geneigt? HINWEIs : Beim freien Fall legt ein Körper in t Sekunden den Weg s = ​ g _ 2 ​· ​t​ 2 ​zurück, wobei g ≈ 9,81m/s 2 ​die Erdbeschleunigung ist. Der Luftwiderstand wird nicht berücksichtigt. Geografische Anwendungen 4 . 68 Der nördliche Polarkreis der Erde hat die geografische Breite φ ≈ 66,55° (siehe nebenstehende Abbildung). Wie groß ist der Radius r des Polarkreises und welchen Abstand d hat er von der Äquatorebene? (Erdradius R ≈ 6 370 km) LösUNg: cos φ = ​ r _ R ​ w r = R · cos φ ≈ 6370 · cos 66,55° ≈ 2535 (km) sin φ = ​ d _ R ​ w d = R · sin φ ≈ 6370 · sin66,55° ≈ 5844 (km) AUfgabEN 4 . 69 Der nördliche Wendekreis der Erde hat die geografische Breite φ ≈ 23,45°. Wie groß ist der Radius des Wendekreises und welchen Abstand hat er von der Äquatorebene? (Erdradius R ≈ 6370km) 4 . 70 Die geografische Breite von Wien beträgt φ ≈ 48,2°. 1) Welchen Abstand hat Wien von der Erdachse? (Erdradius R ≈ 6370 km) 2) Welchen Weg legt Wien bei einer Erdumdrehung zurück? R x h y h θ r R Polarkreisradius r R N S Äquator d φ φ R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Ve lags öbv