Mathematik verstehen 5, Schulbuch

80 4 BEREchNUNgEN IN REchtWINkEl IgEN DREIEckEN 4 . 55 Fertige eine Tabelle für die Steigung k zu den Neigungswinkeln α = 45°, 60°, 75°, 80°, 89°, 89,9°, 89,99°, 89,999° an und beantworte folgende Fragen: 1) Können Steigungen beliebig groß werden? 2) Kann man dem Winkel 90° eine Steigung zuordnen? Begründe! 4 . 56 Ein Radfahrer fährt eine Straße mit konstantem Gefälle von 8% hinunter. Sein Höhenmesser zeigt einen höhenunterschied von 200m an. Welche Strecke hat der Radfahrer dabei zurückgelegt? 4 . 57 Ein Kanalstrang ist 7,35m lang und hat ein Gefälle von 2,5%. Wie groß ist der höhenunterschied zwischen den Kanalenden? 4 . 58 Zwei lotrechte Kanalschächte haben einen horizontalbstand von 16,65m. Die unteren Enden der Kanalschächte liegen 0,51m bzw. 0,74m unter dem Straßenniveau. 1) Wie groß ist das Gefälle des verbindungskanals zwischen den Schachtenden in Prozent? 2) Unter welchem Winkel ist der verbindungskanal zur horizontalen geneigt? 4 . 59 Zwei Punkte eines geradlinigen Straßenstücks weisen einen höhenunterschied von 150m auf. Auf einer Karte im Maßstab 1 : 75000 beträgt ihre Entfernung 4,2 cm. Berechne den Steigungswinkel, die Länge der Straße und deren Steigung in Prozent! 4 . 60 Ein geradlinig verlaufender Schlepplift befördert Schifahrer mit einer Geschwindigkeit von 2,8m/s in 5min aus 980m Seehöhe auf 1 230m Seehöhe. Wie lang ist der Lift, wie groß sind die Steigung und der Steigungswinkel der Lifttrasse? Entfernungs- und Höhenmessung Bei vermessungen misst man Winkel meistens horizontal bzw. vertikal. Horizontalwinkel werden parallel, Vertikalwinkel normal zur horizontalebene gemessen. In nebenstehender Abbildung ist α ein horizontalwinkel. Die Winkel β und γ sind vertikalwinkel und geben jeweils den Winkel zwischen Blick- richtung und horizontalebene an. Man bezeichnet β als Höhen- winkel und γ als Tiefenwinkel . 4 . 61 Ein senkrecht aufsteigender Ballon wird von einem Punkt am waagrechten Boden, der 750m vom Aufstiegsort des Ballons entfernt ist, unter dem höhenwinkel α = 65° gesehen. Wenig später erscheint er unter dem höhen- winkel β = 73°. Um wie viel Meter ist er in der Zwischenzeit gestiegen? LösUNg: 1. Ballonhöhe x: tan α = ​ x _ 750 ​ w x = 750 · tan α 2. Ballonhöhe y: tan β = ​ y _ 750 ​ w y = 750 · tan β Steighöhe z = y – x = 750 · tan β – 750 · tan α = = 750 (tan β – tan α ) = 750 (tan73° – tan65°) ≈ 844,8 (m) Der Ballon ist ungefähr um 845m gestiegen. R α γ β α β x z y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv