Mathematik verstehen 5, Schulbuch

8 1 ZaHlEN UNd ZaHlENmENgEN Allaussagen und Existenzaussagen Es sei A(x) eine Aussage über die Zahl x. ƒƒ Eine Allaussage ist von der Form: Für alle x gilt A(x) . ƒƒ Eine Existenzaussage ist von der Form: Es gibt mindestens ein x, für das A(x) gilt . Beispiel für eine Allaussage : Für alle natürlichen Zahlen x gilt: x 2 º 0. Beispiel für eine Existenzaussage : Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die x 2 = 4gilt. BEaCHtE : Statt „Es gibt mindestens ein x …“ sagt man oft kürzer: „Es gibt ein x …“. Dies ist in der Mathematik immer im Sinn von „Es gibt mindestens ein x …“ gemeint. Dabei ist nicht ausge- schlossen, dass es mehrere solche x gibt. Zum Beispiel besagt die Aussage „Es gibt eine ganze Zahl x, für die x 2 = 4 gilt“, dass es mindestens eine solche Zahl gibt. Tatsächlich gibt es zwei gan- ze Zahlen mit dieser Eigenschaft, nämlich x = 2 und x = –2. Merke ƒƒ Eine Existenzaussage kann man beweisen , indem man ein Beispiel angibt. ƒƒ Eine Allaussage kann man widerlegen , indem man ein Gegenbeispiel angibt. BEISpIElE : ƒƒ Die Existenzaussage „Es gibt eine natürliche Zahl n, für die n 2 = 4gilt“ kann man beweisen , indem man ein passendes Beispiel angibt. Für n = 2 gilt tatsächlich 2 2 = 4. ƒƒ Die Allaussage „Alle Primzahlen sind ungerade“ kann man widerlegen , indem man ein passendes Gegenbeispiel angibt, also eine gerade Primzahl, nämlich 2. BEaCHtE die korrekten verneinungen von All- bzw. Existenzaussagen : Aussage verneinung Für alle x gilt A(x) Es gibt ein x , für das nicht A(x) gilt. Es gibt ein x , für das A(x) gilt. Für alle x gilt nicht A(x). Mengen In der Mathematik fasst man häufig Elemente zu einer Menge zusammen. Man schreibt: x * M … [Lies: x ist Element der Menge M. Oder kurz: x aus M.] x + M … [Lies: x ist kein Element der Menge M. Oder kurz: x nicht aus M.] Eine Menge kann man angeben durch: (1) Aufzählen der Elemente BEISpIElE : M = {2, 3, 4, 5}, N = {0, 1, 2, 3, 4, …} = Menge der natürlichen Zahlen (2) Beschreiben der Elemente BEISpIElE : M = {x * N ‡ 2 ª x ª 5} [Lies: M ist die Menge aller x aus N , für die gilt: 2 ª x ª 5] Beziehungen zwischen Mengen Definition (1) Z wei Mengen A, B heißen gleich ( A = B ), wenn sie die gleichen Elemente enthalten. (Auf die Reihenfolge, in der die Elemente angegeben werden, kommt es nicht an.) (2) E ine Menge A heißt Teilmenge der Menge B ( A a B ), wenn jedes Element von A auch Element von B ist. (3) E ine Menge A heißt echte Teilmenge der Menge B ( A ² B ), wenn A a B und A ≠ B. L L B A Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv