Mathematik verstehen 5, Schulbuch

79 4 . 2 ANWENdUNgEN vON SINUs , COsINUs UNd TaNgENs 4 . 49 Welchen Winkel φ schließen zwei Raumdiagonalen a) eines Würfels, b) eines Quaders mit den Kantenlängen a = 10, b = 12, c = 8 miteinander ein? 4 . 50 Diamanten kristallisieren am häufigsten in der Form eines regelmäßigen Oktaeders, einer achtseitigen Doppelpyramide mit lauter gleich langen Kanten. Unter welchem Winkel α sind schneidende Seitenflächen gegeneinander geneigt? Steigung und Gefälle Den Winkel α , den eine geradlinige Straße mit der horizontalebene einschließt, nennt man den Neigungswinkel ( Steigungswinkel ) der Straße. Die Steigung der Straße ist folgendermaßen definiert: Steigung k = tan α = ​ h _ b ​= ​ Höhenunterschied ____ Horizontalentfernung ​ Die Steigung wird üblicherweise in Prozent angegeben. BEIsPIEl : Eine Straße mit b = 200m und h = 20m hat die Steigung k = ​ h _ b ​= ​ 20 _ 200 ​= 0,1 = 10%. 4 . 51 An einer Bergstraße in Tirol findet man das nebenstehende Straßenschild. Welche Information erhält man durch das Straßenschild? LösUNg: 12% = ​ 12 _ 100 ​= ​ h _ b ​ Bei 100m horizontalentfernung beträgt der höhenunterschied ungefähr 12m. 4 . 52 Welchen Höhenunterschied hat man überwunden, wenn man auf einer mit 19% ansteigenden Straße einen Kilometer gegangen ist? LösUNg: tan α = ​ h _ b = 19% = 0,19 w α = ​tan​ –1 (0,19) ≈ 10,76° sin α = ​ h _ 1 ​ w h = sin α ≈ sin10,76° ≈ 0,187 (km) AUfgabEN 4 . 53 Berechne für die angegebene Steigung den dazugehörigen Neigungswinkel! a) 1% b) 5% c) 10% d) 15% e) 20% f) 25% 4 . 54 1) Zeichne im Maßstab 1 : 100000 über derselben horizontalentfernung (b = 4km) Steigungs- dreiecke für die Steigungen k = 50%, 100%, 200%, 400%! 2) Erstelle eine Tabelle für die Neigungswinkel zu den angegeben Steigungen! 3) Wie verändert sich der Neigungswinkel, wenn die Steigung zunimmt? 4) Entspricht der doppelten Steigung der doppelte Neigungswinkel? a) b) a a a φ a c b φ α a a a a a a a R b h α R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv