Mathematik verstehen 5, Schulbuch

78 4 BEREchNUNgEN IN REchtWINkEl IgEN DREIEckEN Berechnungen an Körpern 4 . 43 Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundkantenlänge a = 230 cm. Die Seitenflächen sind zur Grundfläche unter α = 51,9° geneigt. Berechne näherungsweise 1) die höhe h der Pyramide, 2) den Neigungswinkel β einer Seitenkante gegen die Grundfläche, 3) die Länge s einer Seitenkante, 4) den Rauminhalt v der Pyramide! LösUNg: 1) Dreieck MES: tan α = ​ h _ ​ a _ 2 ​ ​ w h = ​ a _ 2 ​· tan α w h ≈ 147 (cm) 2) (2x​)​ 2 ​= ​a​ 2 ​+ ​a​ 2 ​ w x = ​ a _ ​ 9 _ 2​ ​ Dreieck AMS: tan β = ​ h _ x ​= ​ h · ​ 9 _ 2​ _ a ​ w β ≈ 42,0° 3) Dreieck AMS: sin β = ​ h _ s ​ w s = ​ h _ sin β ​ w s ≈ 219 (cm) 4) v = ​ ​a​ 2 ​· h _ 3 ​ w V ≈ 2586192 (cm 3 ​) AUfgabEN 4 . 44 Ein Quader hat die Kantenlängen a = ​ _ AB = 8 cm, b = _ BC​= 5 cm, c = ​ _ AE​= 10 cm. Übertrage die Abbildung in das heft! Zeichne die folgen- den Strecken ein und ermittle den Winkel zwischen diesen Strecken! a) AE und Ah c) CD und Ch e) GB und Gh g) Fh und FD b) AC und AD d) FA und FB f) Ah und AG h) CE und CB 4 . 45 Ein Quader wie in Aufgabe 4.44 hat die Kantenlängen a = ​ _ AB = 8, b = _ BC​= 5, c = ​ _ AE​= 10. Übertrage die Abbildung in das heft! Zeichne die gegebene Strecke ein und ermittle den Winkel zwischen dieser Strecke und der angegebenen Fläche! a) Raumdiagonale Bh und Grundfläche ABCD b) Raumdiagonale CE und vorderfläche ABFE c) Raumdiagonale DF und Seitenfläche ADhE 4 . 46 Ein Quader wie in Aufgabe 4.44 hat die Kantenlängen a = ​ _ AB​= 12 cm, b = ​ _ BC = 9 cm, c = ​ _ AE​= 4 cm. Ermittle den Winkel zwischen den folgenden Flächen! a) ABGh und ABCD b) BChE und BCGF c) BFhD und ABFE 4 . 47 Die Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris ist gerade und quadratisch mit der Grund- kantenlänge 35m und der höhe 21,65m. Wie stark ist jede Seitenfläche gegen die Grundfläche geneigt und wie groß ist der Inhalt aller Glasflächen insgesamt? 4 . 48 Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundkantenlänge a, die Seitenkantenlänge s und die höhe h. Berechne den Neigungswinkel α einer Seitenkante zur Grundfläche, den Neigungswinkel β einer Seitenfläche zur Grundfläche und den Winkel γ , den Seitenkante und Grundkante miteinander einschließen! Berechne außerdem das volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide! a) a = 6,8 , h = 9,5 b) a = 42, s = 75 c) h = 123,2 , s = 175 R α β A a B h s C D E F S x M R B A C D F E G h α β γ h s a a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv