Mathematik verstehen 5, Schulbuch

74 4 BEREchNUNgEN IN REchtWINkEl IgEN DREIEckEN 4 . 2 ANWENdUNgEN vON SINUs, COsINUs UNd TaNgENs Berechnungen in rechtwinkeligen Dreiecken 4 .17 von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man c = 110,6 und α = 35,3°. Berechne die Seitenlängen a und b und den Winkel β des Dreiecks! LösUNg: Berechnung von a: D ie gesuchte Gegenkathete a von α und die gegebene hypotenuse c des Dreiecks hängen über den Sinus von α zusammen. sin α =  a _ c w a = c · sin α = 110,6 · sin35,3° ≈ 63,9 Berechnung von b : D ie gesuchte Ankathete b von α und die gegebene hypotenuse c des Dreiecks hängen über den Cosinus von α zusammen. cos α =  b _ c w b = c · cos α = 110,6 · cos 35,3° ≈ 90,3 Berechnung von β : β = 180° – α – 90° = 90° – 35,3° = 54,7° 4 .18 von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man a = 3,4 und b = 2,3. Berechne die Seitenlänge c und die Winkel α und β des Dreiecks! LösUNg: Berechnung von c: (Satz von Pythagoras): c 2 = a 2 + b 2 w c =  9 ____ a 2 + b 2 ≈ 4,1 Berechnung von α : Der gesuchte Winkel α hat die gegebene Seite a zur Gegenkathete und die gegebene Seite b zur Ankathete. Daher gilt: tan α =  a _ b =  3,4 _ 2,3 w α = tan –1 2 3,4 _ 2,3 3 ≈ 55,9° Berechnung von β : β = 180° – α – 90° ≈ 34,1° AUfgabEN 4 .19 von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man die Länge einer Seite und einen Winkel. Berechne die übrigen Seitenlängen und Winkel des Dreiecks! a) c = 46,3 , α = 71,8° c) a = 7,7 , α = 46,2° e) b = 38,2 , α = 31,6° b) c = 531, β = 29,5° d) a = 99,5 , β = 31,9° f) b = 4,2 , β = 21,8° 4 . 20 von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man zwei Seitenlängen. Berechne die dritte Seitenlänge und die übrigen Winkel des Dreiecks! a) a = 41,5 , b = 87,1 c) a = 9,5 , c = 14,2 e) b = 45,0 , c = 56,9 b) a = 10,0 , b = 7,5 d) a = 25,79 , c = 44,77 f) b = 108, c = 117 4 . 21 von einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° kennt man die Länge einer Kathete und die höhe h c . Berechne die übrigen Seitenlängen und Winkel des Dreiecks! a) a = 6, h c = 4 b) b = 38, h c = 30 R kompakt Seite 84 c b a α β c b a α β R c b h c a α β Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv