Mathematik verstehen 5, Schulbuch

71 4 .1 SINUs , COsINUs UNd TaNgENs LösUNg: Aufgrund ähnlicher Dreiecke gilt: a) G _ h =  3 _ 5 = 0,6 w G = 0,6 · h b) G _ h =  5 _ 13 ≈ 0,38 w G ≈ 0,38 · h A _ h =  4 _ 5 = 0,8 w A = 0,8 · h A _ h =  12 _ 13 ≈ 0,92 w A ≈ 0,92 · h Für h = 60 ergibt sich: Für h = 60 ergibt sich: G = 36m, A = 48m G ≈ 23m, A ≈ 55m Die Formeln in der letzten Aufgabe haben wir durch Betrachtung der verhältnisse G _ h und A _ h erhalten. Dabei konnten wir feststellen: Für konstantes α haben diese verhältnisse jeweils einen konstanten Wert (unabhängig von der gewählten hypotenusenlänge h). Ändert sich α , dann ändern auch diese verhältnisse ihren Wert. Daraus folgt: Die verhältnisse G _ h und A _ h hängen nur vom Winkelmaß α ab. Dasselbe kann man für das verhältnis G _ A (Steigung des Schrägaufzugs) zeigen. Die verhältnisse G _ h , A _ h und G _ A wurden im Prinzip schon im Altertum betrachtet. Später gab man ihnen eigene Namen, nämlich Sinus von α , Cosinus von α und Tangens von α , abgekürzt sin α , cos α und tan α . Definition In einem rechtwinkeligen Dreieck mit dem Winkelmaß α , der hypotenusenlänge h, der Gegenkathetenlänge G und der Ankathetenlänge A setzt man: sin α = G _ H , cos α =  A _ H , tan α = G _ A Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Formeln: G = H · sin α , A = H · cos α Berechnung von Sinus, Cosinus und Tangens mit Technologieeinsatz In der letzten Aufgabe haben wir die Werte von sin α , cos α und tan α einer Zeichnung entnommen. Man kann diese Werte jedoch auch näherungsweise mit Technologieeinsatz ermitteln. Wir erläutern dies zunächst an der Gleichung sin α = c. Bei gegebenem α erhält man c durch Eingabe von sin α . Bei gegebenem c erhält man α durch Eingabe von sin –1 (c) oder arcsin(c). Für den Cosinus oder Tangens schreibt man analog cos α , tan α und cos –1 (c), tan –1 (c) bzw. arccos(c), arctan(c). Die Bezeichnungen arcsin , arccos und arctan sind Abkürzungen für Arcussinus , Arcuscosinus und Arcustangens . Dabei gilt: arcsin bzw. sin –1 macht die Eingabe sin rückgängig. arccos bzw. cos –1 macht die Eingabe cos rückgängig arctan bzw. tan –1 macht die Eingabe tan rückgängig. BEIsPIEl : sin( α ) = 0,5 É α = sin –1 (0,5) = arcsin(0,5) = 30° BEMERKUNG: Winkel können in verschiedenen Maßen (Grad, Bogenmaß, Neugrad) gemessen werden. Achte also beim Technologieeinsatz darauf, dass das Gradmaß eingestellt ist! A h G α R kompakt Seite 84 sin α sin( α) sin –1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv