Mathematik verstehen 5, Schulbuch

7 1 .1 AUSSagEN UNd MENgEN natürlichen Zahl n behaupten, dass sie durch 3 oder durch 5 teilbar ist, bleibt offen, ob nur das Erste gilt (wie zB für n = 6), ob nur das Zweite gilt (wie zB für n = 10) oder ob beides gilt (wie zB für n = 15). Das Bindewort „oder“ wird also nicht im Sinn von „entweder oder“ verwendet. verneinungen von Und- bzw. Oder-Aussagen Aussage verneinung A und B ¬A oder ¬B A oder B ¬A und ¬B BEISpIElE : A n ist durch 3 teilbar B n ist durch 5 teilbar ¬A n ist nicht durch 3 teilbar. ¬B n ist nicht durch 5 teilbar. A ? B n ist durch 3 und durch 5 teilbar. A = B n ist durch 3 oder durch 5 teilbar. ¬ (A ? B) n ist nicht durch 3 oder nicht durch 5 teilbar. ¬ (A = B) n ist nicht durch 3 und nicht durch 5 teilbar. Wichtige Beziehungen zwischen Aussagen Für zwei Aussagen A und B kann gelten: A w B [Lies: Wenn A, dann B. Oder: Aus A folgt B.] A É B [Lies: A genau dann, wenn B. Oder: A äquivalent B.] BEISpIEl : Für eine ganze Zahl x gilt: x = 1 w x 2 = 1 x 2 = 1 É (x = 1) = (x = –1) Gilt A É B , so bezeichnet man A und B als äquivalente Aussagen . Die Schreibweise A É B sagt aus, dass sowohl A w B als auch die Umkehrung B w A gilt. BEaCHtE : Wenn A w B gilt, dann muss die Umkehrung B w A nicht gelten. Zum Beispiel folgt aus x = 1 zwar x 2 = 1, umgekehrt folgt aber aus x 2 = 1 nicht unbedingt x = 1, denn es könnte ja auch x = –1 gelten. AUFgabEN 1 . 01 A ist eine Aussage über die ganze Zahl x. Kreuze die richtige(n) verneinung(en) von A an! a) A: x > 0 ? x ª 10 b) A: x < –5 = x > 5 x < 0 ? x > 10  x ª –5 = x º 5  x < 0 = x > 10  x < –5 ? x > 5  x ª 0 ? x > 10  x º –5 = x ª 5  x ª 0 = x > 10  x º –5 ? x ª 5  x > 10 = x ª 0  – 5 ª x ª 5  1 . 02 Gilt für die folgende Aussage über eine ganze Zahl x auch die Umkehrung? a) x > 0 w 1 _ x > 0 b) x > 0 w x ≠ 0 c) x < 0 w x 3 < 0 d) x º 1 w x 2 º 1 1 . 03 Es sei x eine ganze Zahl. Kreuze die wahre(n) Aussage(n) an! L x ≠ 0 É x < 0 = x > 0  x 2 > 0 w x > 0  x < 0 w x 2 > 0  x ª 0 ? x ≠ 0 w x < 0  x · y = 0 É x = 0 = y = 0  Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv