Mathematik verstehen 5, Schulbuch

66 3 QUADRAt IsCHE GlEICHUNgEN 3 . 4 QUADRAtIsCHE GlEICHUNgEN MIt PARAMEtERN Lösen quadratischer Gleichungen mit Parametern Neben der Unbekannten und konkreten Zahlen kann eine Gleichung auch so genannte Parameter (Betonung: Parámeter) enthalten. Parameter sind variablen, deren Werte zwar unbestimmt sind, aber im verlauf der Rechnung konstant gehalten werden. Parameter werden daher im verlauf einer Rechnung wie konkrete Zahlen behandelt. 3 . 47 Löse die Gleichung 2x 2 – a x – a 2 = 0 zuerst allgemein mit dem Parameter a und gib dann die Lösungen für a) a = 2, b) a = – 2, c) a = 0 an! LösUNg: 2x 2 – a x – a 2 = 0 x = a ± 9 _____ a 2 + 8a 2 __ 4 = a ± 9 __ 9a 2 __ 4 = a ± 3a _ 4 x = a = x = – a _ 2 a) Für a = 2 ergibt sich: x = 2 = x = –1 b) Für a = –2 ergibt sich: x = –2 = x = 1 c) Für a = 0 fallen die beiden Lösungen zusammen: x = 0 AUFgAbEN 3 . 48 Löse die Gleichung zuerst allgemein und gib dann die Lösungen für a = 1, a = –1 und a = 6 an! a) x 2 – a x – 2a 2 = 0 c) 3x 2 – (4a – 3) · x + a (a – 1) = 0 b) x 2 – x – a 2 (a 2 + 1) = 0 d) a x 2 – (a 2 + 1) · x + a = 0 (mit a ≠ 0) Untersuchen von Lösungsfällen durch Fallunterscheidungen 3 . 49 Für welche k * ℝ hat die Gleichung x 2 – k x + 1 = 0 genau zwei reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung bzw. keine Lösung? LösUNg: x 2 – k x + 1 = 0 x =  k _ 2 ± 9 ___ k 2 _ 4 – 1=  k _ 2 ± 1 _ 2 · 9 ___ k 2 – 4 genau zwei Lösungen É k 2 – 4 > 0 É k 2 > 4 É k < – 2 = k > 2 genau eine Lösung É k 2 – 4 = 0 É k 2 = 4 É k = – 2 = k = 2 keine Lösung É k 2 – 4 < 0 É k 2 < 4 É – 2 < k < 2 AUFgAbEN 3 . 50 Für welche k * ℝ hat die Gleichung genau zwei reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung bzw. keine Lösung? a) x 2 – 2x + k = 0 c) kx 2 + x + 1 = 0 (mit k ≠ 0) b) x 2 + kx + 1 = 0 d) 4x 2 + 4(k + 1) x + k 2 = 0 3 . 51 Für welche c * ℝ hat die Gleichung genau zwei reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung bzw. keine Lösung? a) x 2 + c = 0 b) (x – 5) 2 – c = 0 c) (x – c) 2 – c = 0 d) 2x 2 – 5x – c = 0 3 . 52 Wie muss man a * R wählen, damit die Gleichung x 2 = 3 + (ax – 3) 2 nur eine Lösung für x hat? Wie lautet diese Lösung? R kompakt Seite 67 R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv