Mathematik verstehen 5, Schulbuch

64 3 QUADRAt IsCHE GlEICHUNgEN 3 . 3 DER SAtZ vON vIEtA Zusammenhänge zwischen Koeffizienten und Lösungen Zwischen den Koeffizienten einer normierten quadratischen Gleichung und deren Lösungen gibt es Zusammenhänge, die François viète (genannt vieta , 1540 –1603) als Erster formulierte. François viète (genannt vieta , 1540 –1603) Satz von vieta Besitzt eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 die Lösungen x 1 und x 2 , dann gilt: (1) x 2 + px + q = (x – x 1 ) · (x – x 2 ) (2) p = – (x 1 + x 2 ) (3) q = x 1 · x 2 BEWEIs : Es ist x 1 = – p _ 2 + 9 _ Dund x 2 = – p _ 2 – 9 _ Dmit D = 2 p _ 2 3 2 – q º 0. Damit ergibt sich: (1) (x – x 1 ) · (x – x 2 ) = 2 x + p _ 2 – 9 _ D 3 · 2 x + p _ 2 + 9 _ D 3 = 2 x + p _ 2 3 2 – D = = x 2 + p x + 2 p _ 2 3 2 – 4 2 p _ 2 3 2 – q 5 = x 2 + p x + q (2) x 1 + x 2 = 2 – p _ 2 + 9 _ D 3 + 2 – p _ 2 – 9 _ D 3 = –p w – (x 1 + x 2 ) = p (3) x 1 · x 2 = 2 – p _ 2 + 9 _ D 3 · 2 – p _ 2 – 9 _ D 3 = 2 p _ 2 3 2 – D = 2 p _ 2 3 2 – 4 2 p _ 2 3 2 – q 5 = q c Merke p = negative Summe der Lösungen q = Produkt der Lösungen BEMERkUNg: Der Satz von vieta gilt auch, wenn D = 0 ist. In diesem Fall ist x 1 = x 2 = – p _ 2 , dh. die Gleichung hat nur eine Lösung. Man sagt auch: Die Lösungen x 1 und x 2 fallen zusammen. In diesem Fall ist im Satz von vieta sowohl für x 1 als auch für x 2 die Zahl – p _ 2 einzusetzen. Zerlegung in Linearfaktoren Gilt x 2 + px + q = (x – x 1 ) · (x – x 2 ) , so sagt man: Der Term x 2 + px + q wird in das Produkt der Linearfaktoren (x – x 1 ) und (x – x 2 ) zerlegt. 3 . 36 Zerlege den Term in ein Produkt aus Linearfaktoren, sofern dies möglich ist! a) x 2 – x – 6 b) 3x 2 + 21 x + 36 c) x 2 + 5 x + 7 LösUNg: a) Zeige, dass die normierte Gleichung x 2 – x – 6 = 0 die Lösungen x 1 = – 2 und x 2 = 3 besitzt! Nach dem Satz von vieta gilt daher: x 2 – x – 6 = (x + 2) · (x – 3). b) Wir heben zuerst 3 heraus: 3 · (x 2 + 7x + 12) = 0. Zeige, dass die normierte Gleichung x 2 + 7x + 12 = 0 die Lösungen x 1 = – 4 und x 2 = – 3 besitzt! Nach dem Satz von vieta gilt daher insgesamt: 3x 2 + 21 x + 36 = 3 · (x + 3) · (x + 4). c) Zeige, dass die normierte Gleichung x 2 + 5 x + 7 = 0 keine Lösung besitzt! Der Term x 2 + 5 x + 7 kann somit nicht in Linearfaktoren zerlegt werden. (Denn wäre x 2 + 5 x + 7 = (x – x 1 ) · (x – x 2 ), dann hätte die Gleichung x 2 + 5 x + 7 = 0 die Lösungen x 1 und x 2 .) L L kompakt Seite 67 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv