Mathematik verstehen 5, Schulbuch

63 3 . 2 LösUNgsFORMElN FÜR qUADRAt IsCHE GlEICHUNgEN 3 . 32 Ein Raumfahrzeug der Masse m, das auf direktem Weg von der Erde (Masse M E ) zum Mond (Masse M M ) fliegt und dabei eine Strecke der Länge d = 384000 km zurücklegt, passiert auf seiner Reise einen so genannten Librationspunkt, in dem die Anziehungskraft der Erde und des Mondes gleich groß sind. Nach wie viel Kilometer Flug befindet sich das Raumfahrzeug im Librationspunkt, wenn man weiß, dass die Erde etwa die 81 fache Mondmasse besitzt? HINWEIs : In der Entfernung r des Raumfahrzeugs von der Erde gilt: Anziehungskraft Erde – Raumfahrzeug = F E = G · m·M E _ r 2 Anziehungskraft Mond – Raumfahrzeug = F M = G · m·M M __ (d – r) 2 G ist die Gravitationskonstante. Quadratische Bruchgleichungen 3 . 33 Für welche reelle Zahlen x gilt: x _ x – 1 – 4 _ x + 1 = 1 _ x – 1 LösUNg: Wir müssen x ≠ 1 und x ≠ – 1 voraussetzen, damit alle Nenner von 0 verschieden sind. Wir bringen auf einen gemeinsamen Nenner: x( x + 1) __ x 2 – 1 – 4 (x – 1) __ x 2 – 1 = x + 1 _ x 2 – 1 | · (x 2 – 1) x 2 + x – 4 x + 4 = x + 1 x 2 – 4 x + 3 = 0 x = 2 ± 9 ___ 4 – 3 x = 3 = x = 1 Wegen der Voraussetzung x ≠ 1 und x ≠ –1 kommt allerdings nur x = 3 als Lösung in Frage. Man kann das vorgehen in der letzten Aufgabe auch mit Mengen beschreiben: 1. Schritt: Ermittlung der Grundmenge G = ℝ 2. Schritt: Ermittlung der Definitionsmenge D = ℝ \ {–1; 1} (weil alle Nenner von 0 verschieden sein müssen) 3. Schritt: Ermittlung der Lösungsmenge Die Rechnung ergibt x = 3 = x = 1. Wegen 1 + D ist nur x = 3 eine Lösung. Also ist L = {3}. AUFgAbEN 3 . 34 Es ist G = R . Ermittle die Definitionsmenge D und die Lösungsmenge L der Bruchgleichung! Führe auch die Probe durch! a) x – 1 _ 3 – x =  1 _ x – 1 c) 2 _ x – 1 +  2 _ x –  2 _ x 2 – x = 2 e) 3x – 10 _ x – 2 = 1 +  x – 4 _ x + 1 b) 2 _ x 2 – 1 +  3 _ x =  2 _ x d) x + 1 _ x – 2 +  x + 3 _ x + 2 = 0 f) 10x ___ (3x + 4) · (2x + 1) =  5x _ 2x + 1 3 . 35 Ermittle alle Lösungen der Bruchgleichung und mache die Probe! a) 1 _ x +  1 _ 2 =  1 _ x – 1 d) x + 3 _ 4 +  4 _ 1 – x +  11 _ 4 = 0 g) 3 _ x +  1 _ 3 =  3 _ x + 1 +  11 _ 6 b) 1 _ 2 –  1 _ x – 1 =  x – 3 _ 6 e) 1 _ x –  1 _ x + 1 =  1 _ x + 1 –  1 _ x +  1 _ 6 h) 6 – x _ 5 – x + 7 =  9x _ 4 c) 1 +  1 _ x + 3 =  x _ 2 –  6x _ 4 f) x _ 2 +  2 _ x – 4 = 5 –  x – 7 _ 2 i) 3x 2 _ x 2 – 1 +  5x _ x + 1 =  9x _ x – 1 R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv