Mathematik verstehen 5, Schulbuch

60 3 QUADRAt IsCHE GlEICHUNgEN Gleichungen der Form a · x 2 + b · x + c = 0 (mit a ≠ 0) Eine solche Gleichung kann man lösen, indem man beide Seiten durch a dividiert und die „kleine Lösungsformel“ verwendet: a x 2 + b x + c = 0 | : a x 2 + b _ a x + c _ a = 0 x = – b _ 2a ± 9 ____ b 2 _ 4a 2 – c _ a = – b _ 2a ± 9 ____ b 2 – 4ac __ 4a 2 = = – b _ 2a ± 1 _ 2a 9 _____ b 2 – 4a c= –b ± 9 _____ b 2 – 4a c ___ 2a (sofern b 2 – 4a c º 0) In Analogie zu normierten quadratischen Gleichungen bezeichnet man auch hier die Zahl unter der Wurzel, also b 2 – 4a c, als Diskriminante , weil man mit ihrer Hilfe folgende Lösungsfälle unterscheiden kann: 1. Fall: b 2 – 4a c > 0 2. Fall: b 2 – 4ac = 0 3. Fall: b 2 – 4ac < 0 x = – b ± 9 _____ b 2 – 4ac ___ 2a x = – b _ 2a genau zwei Lösungen genau eine Lösung keine Lösung Insgesamt haben wir durch unsere Überlegungen die folgenden beiden Sätze bewiesen: Satz Eine quadratische Gleichung a x 2 + bx + c = 0 mit a, b, c * ℝ , a ≠ 0 und der Diskriminante D = b 2 – 4a c hat genau zwei reelle Zahlen als Lösungen , wenn D > 0 , genau eine reelle Zahl als Lösung , wenn D = 0 , keine reelle Zahl als Lösung , wenn D < 0 . Satz („große Lösungsformel“) Für eine quadratische Gleichung a x 2 + bx + c = 0 mit der Diskriminante D = b 2 – 4a c º 0 gilt: a x 2 + bx + c = 0 É x = –b ± 9 _____ b 2 – 4a c ___ 2a 3 .13 Löse: a) 3x 2 – x – 10 = 0 b) 4x 2 – 12 x + 9 = 0 c) 5x 2 – x + 2 = 0 LösUNg: Man liest a, b, c aus der quadratischen Gleichung ab und setzt in die Formel ein. a) 3x 2 – x – 10 = 0 [a = 3, b = – 1, c = – 10] x = 1 ± 9 _________ 1 – 4 · 3 · 2 – 10 3 ___ 2 · 3 = 1 ± 9 __ 121 __ 6 = 1 ± 11 _ 6 x = – 5 _ 3 = x = 2 b) 4x 2 – 12 x + 9 = 0 [a = 4, b = – 12, c = 9] x = 12 ± 9 _______ 144 – 4 · 4 · 9 ___ 2 · 4 = 12 ± 0 _ 8 x = 3 _ 2 c) 5x 2 – x + 2 = 0 [a = 5, b = – 1, c = 2] x = 1 ± 9 ______ 1 – 4 · 5 · 2 ___ 2 · 5 = 1 ± 9 ___ – 39 __ 10 keine Lösung R kompakt Seite 67 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv