Mathematik verstehen 5, Schulbuch

59 3 . 2 LösUNgsFORMElN FÜR qUADRAt IsCHE GlEICHUNgEN Insgesamt haben wir durch unsere Überlegungen die folgenden beiden Sätze bewiesen: Satz Eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 mit p, q * R und der Diskriminante D = 2 p _ 2 3 2 – q hat genau zwei reelle Zahlen als Lösungen , wenn D > 0 , genau eine reelle Zahl als Lösung , wenn D = 0 , keine reelle Zahl als Lösung , wenn D < 0 . Satz („kleine Lösungsformel“) Für eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 mit der Diskriminante D = 2 p _ 2 3 2 – q º 0 gilt: x 2 + px + q = 0 É x = – p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q BEACHtE : Die kleine Lösungsformel ist nur dann anwendbar, wenn die quadratische Gleichung normiert ist, dh. wenn der Koeffizient von x 2 gleich 1 ist. Dass eine quadratische Gleichung keine Lösung hat, merkt man unter Umständen erst dann, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl auftaucht. 3 . 09 Löse: a) x 2 – 4x – 5 = 0 b) x 2 – 4x + 4 = 0 c) x 2 + 2x + 3 = 0 LösUNg: Da alle Gleichungen normiert sind, darf man die „kleine Lösungsformel“ verwenden. Man liest p und q aus der quadratischen Gleichung ab und setzt in die Formel ein. a) x 2 – 4x – 5 = 0 b) x 2 – 4x + 4 = 0 c) x 2 + 2x + 3 = 0 [p = – 4, q = –5] [p = – 4, q = 4] [p = 2, q = 3] x = 2 ± 9 ___ 2 2 + 5 x = 2 ± 9 ___ 2 2 – 4 x = –1 ± 9 _____ (–1) 2 – 3 x = 2 ± 9 _ 9 x = 2 ± 9 _ 0 x = –1 ± 9 __ – 2 x = –1 = x = 5 x = 2 keine Lösung, da D < 0 L = {–1; 5} L = {2} L = { } AUFgAbEN 3 .10 Wie viele reelle Lösungen besitzt die Gleichung x 2 + px + 1 = 0 für die angegebenen Werte von p? Kreuze an! p – 3 – 2 –1 0 1 2 3 keine reelle Lösung        genau eine reelle Lösung        genau zwei reelle Lösungen        3 .11 Löse die folgende Gleichung! Beachte die verschiedenen Lösungsfälle! a) x 2 + x – 2 = 0 d) x 2 + 30x + 225 = 0 g) x 2 – 8x + 16 = 0 j) x 2 – 5x – 24 = 0 b) x 2 + 11x + 30 = 0 e) x 2 – 6x + 54 = 0 h) x 2 – 7x + 12 = 0 k) x 2 + 6x + 9 = 0 c) x 2 – 22x + 121 = 0 f) x 2 – 11x + 24 = 0 i) x 2 – 7x – 18 = 0 l) x 2 – 14x + 50 = 0 3 .12 Löse! a) (x + 4)(x – 7) + 10x = – 40 d) (5x – 8) 2 – (3x – 2) 2 = 15(x – 3) 2 b) (x – 3) 2 + (x – 2)(x + 3) = x 2 + x – 2 e) (x – 3) 2 – (x – 5) 2 = (x – 8) 2 – 5 c) 2(x + 2)(x + 3) + (x – 1)(5 – x) = –53 f) (x + 1)(x – 1) – (x – 1) 2 + (x + 1) 2 = – 2,75 kompakt Seite 67 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv