Mathematik verstehen 5, Schulbuch

58 3 QUADRAt IsCHE GlEICHUNgEN 3 . 2 LösUNgsFORMElN FÜR qUADRAtIsCHE GlEICHUNgEN Normierung quadratischer Gleichungen Eine quadratische Gleichung a · x 2 + b · x + c = 0 mit a ≠ 0 kann stets so umgeformt werden, dass der Koeffizient von x 2 (dh. die Zahl vor x 2 ) gleich 1 ist: a · x 2 + b · x + c = 0 | : a x 2 + b _ a · x + c _ a = 0 Setzt man zur Abkürzung b _ a = p und c _ a = q, erhält man: x 2 + p · x + q = 0 Man bezeichnet eine Gleichung der Form x 2 + p · x + q = 0 (dh. eine quadratische Gleichung, bei der der Koeffizient von x 2 gleich 1 ist) als normierte quadratische Gleichung . Gleichungen der Form x 2 + p x + q = 0 3 . 08 Löse: a) x 2 – 2 x + 1 = 0 b) x 2 – 2 x – 8 = 0 c) x 2 + 2 x + 5 = 0 LösUNg: In a) wenden wir die binomische Formel a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 an. Damit wir auch in b) und c) eine entsprechende binomische Formel anwenden können, addieren wir zuerst auf beiden Seiten eine geeignete Zahl, sodass die linke Seite die Form a 2 ± 2ab + b 2 erhält. (Man bezeichnet diesen vorgang als „Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat“.) a) x 2 – 2 x + 1 = 0 b) x 2 – 2 x – 8 = 0 | + 9 c) x 2 + 2 x + 5 = 0 | – 4 (x – 1) 2 = 0 x 2 – 2 x + 1 = 9 x 2 + 2 x + 1 = – 4 x – 1 = 0 (x – 1) 2 = 9 (x + 1) 2 = – 4 x = 1 x – 1 = ±3 Es gibt keine Lösung, da x = 1 ± 3 die linke Seite º 0 und die x = 4 = x = –2 rechte Seite < 0 ist L = {1} L = {– 2; 4} L = { } Wir führen diese Schritte jetzt allgemein durch: x 2 + p x + q = 0 | + 2 p _ 2 3 2 – q x 2 + p x + 2 p _ 2 3 2 = 2 p _ 2 3 2 – q 2 x + p _ 2 3 2 = 2 p _ 2 3 2 – q Nun unterscheiden wir folgende Fälle: 1. Fall: 2 p _ 2 3 2 – q > 0 2. Fall: 2 p _ 2 3 2 – q = 0 3. Fall: 2 p _ 2 3 2 – q < 0 x + p _ 2 = ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q x + p _ 2 = 0 2 x + p _ 2 3 2 = 2 p _ 2 3 2 – q x = – p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q x = – p _ 2 genau zwei Lösungen genau eine Lösung keine Lösung Die Zahl D = 2 p _ 2 3 2 – q heißt Diskriminante der Gleichung x 2 + px + q = 0, weil man mit ihrer Hilfe entscheiden kann, welcher Lösungsfall eintritt (discriminare (lat.) = unterscheiden). R R } } º 0 < 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv