Mathematik verstehen 5, Schulbuch

57 3 .1 SONDERFällE qUADRAt IsCHER GlEICHUNgEN Bei diesem Sonderfall haben wir den folgenden Satz benutzt: Produkt-Null-Satz Für alle A, B * R gilt: A · B = 0 É A = 0 = B = 0 In Worten: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. 3. Sonderfall: Gleichungen der Form a · x 2 + c = 0 (a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0) Allgemein: Beispiel 1: Beispiel 2: ax 2 + c = 0 3x 2 – 9 = 0 3x 2 + 9 = 0 ax 2 = – c 3x 2 = 9 3x 2 = – 9 x 2 = – c _ a x 2 = 3 x 2 = – 3 c _ a < 0 w x =  9 __ – c _ a = x = – 9 __ – c _ a x =  9 _ 3 = x = – 9 _ 3 keine Lösung in R c _ a > 0 w keine Lösung in R BEACHtE im Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 3 hat zwei Lösungen, nämlich x = 9 _ 3und x = – 9 _ 3, denn es gilt ( 9 _ 3) 2 = 3 und (– 9 _ 3) 2 = 3. Man schreibt auch kürzer: x = ± 9 _ 3. 3 . 01 Max löst die Gleichung x · (x – 5) = 0 so: x · (x – 5) = 0 | : x É x – 5 = 0 É x = 5 É L = {5} Ist diese Lösung richtig? Wenn nicht, löse die Gleichung richtig und erläutere, welchen Fehler Max begeht! LösUNg: Die Lösung ist falsch. Eine richtige Lösung sieht so aus: x · (x – 5) = 0 É x = 0 = x – 5 = 0 É x = 0 = x = 5 w L = {0; 5} Max übersieht, dass die Division durch x nur für x ≠ 0 erlaubt ist. Deshalb geht ihm die Lösung x = 0 verloren. Der erste Schritt von Max ist keine Äquivalenzumformung, da die Gleichungen x · (x – 5) = 0 und x – 5 = 0 verschiedene Lösungsmengen haben. AUFgAbEN 3 . 02 Löse! a) x 2 – 144 = 0 b) 9 _ 5 · x 2 –  16 _ 5 = 0 c) x 2 –  121 _ 4 = 0 d) x 2 _ 24 –  3 _ 2 = 0 3 . 03 Löse! a) (2x – 7)(2x + 7) = 0 c) (1 – 3x)(3x + 1) = – 8 e) 2 x _ 4 – 9 3 2 x _ 4 + 9 3 = –17 b) (x + 2) 2 = 36 – (x – 2) 2 d) 9 · (x – 2) 2 – 4 · 2 9 _ 2 – x 3 2 = 35 f) (3x + 7) 2 + (3x – 7) 2 = 134 3 . 04 Löse für a > 0 und c > 0! a) ax 2 – c = 0 b) x 2 – a _ c = 0 c) x 2 –  a _ c = 0 d) x 2 _ c – a = 0 3 . 05 Löse! a) x(x – 3) = 0 b) 2 x +  7 _ 8 3 x = 0 c) (3x – 2) x = 0 d) x(x + 7) = 0 3 . 06 Löse! a) x 2 – 5x = 0 c) x 2 = 15x e) 3 _ 2 x = x 2 g) 2,1x 2 = – 1 _ 10 x b) x 2 + 10x = 0 d) 1 _ 2 x 2 – 8x = 0 f) x 2 –  13 _ 17 x = 0 h) 25 _ 3 x 2 =  49 _ 2 x 3 . 07 Löse! a) (x – 3) 2 – 49 = 0 b) 2 x –  3 _ 8 3 2 =  25 _ 64 c) (x – 1,6) 2 = 0 d) (x – 5) 2 = 4 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv