Mathematik verstehen 5, Schulbuch

48 2 TERME UND FORMElN Eine Gleichung in der variablen x geht genau dann in eine wahre (falsche) Aussage über, wenn x eine (keine) Lösung der Gleichung ist. Daher kann man die Äquivalenz zweier Gleichungen in einer variablen auch so formulieren: Zwei Gleichungen in einer Variablen sind genau dann äquivalent , wenn sie die gleiche Definitionsmenge und die gleiche Lösungsmenge haben. BEISpIEl : Die Gleichungen ​ 1 – ​x​ 2 ​ _ ​x​ 2 ​ ​= 0 und ​ 1 _ ​x​ 2 ​ ​– 1 = 0 sind äquivalent, weil beide die Definitionsmenge D = R * und die Lösungsmenge L = {1, –1} haben. Durch die Anwendung einer Äquivalenzumformung ändert sich zwar die jeweilige Gleichung, nicht aber deren Lösungsmenge. Das Ziel beim Gleichungslösen besteht darin, die gegebene Gleichung so lange in äquivalente Gleichungen umzuformen, bis man die variable auf einer Seite isoliert hat und somit die Lösung(en) direkt ablesen kann. Lösungsfälle für Gleichungen Eine Gleichung in einer Variablen kann keine Lösung , eine Lösung oder mehrere Lösungen ha- ben. Die folgende Aufgabe zeigt, wie man erkennen kann, welcher Fall eintritt. 2 . 71 Löse die folgende Gleichung mit der Grundmenge G = R und gib die Lösungsmenge an! a) 4x + 1 = x + 5 + 3x – 3 b) 4x + 1 = x + 5 + 3x – 4 c) 2x – 1 = x d) ​x​ 2 ​= 16 LöSUNg: Wir lösen jede Gleichung mit hilfe von Äquivalenzumformungen. a) 4x + 1 = x + 5 + 3x – 3 4x + 1 = 4x + 2 1 = 2 (falsche Aussage) Weil die letzte Gleichung falsch ist, muss auch die dazu äquivalente erste Gleichung für jedes reelle x falsch sein. Also gilt: L = { }. Man sieht dies übrigens schon an der zweiten Zeile und könnte die Rechnung an dieser Stelle abbrechen. b) 4x + 1 = x + 5 + 3x – 4 4x + 1 = 4x + 1 0 = 0 (wahre Aussage) Weil die letzte Gleichung wahr ist, muss auch die dazu äquivalente erste Gleichung für jedes reelle x wahr sein. Also gilt: L = R . Man sieht auch das schon an der zweiten Zeile und könnte die Rechnung an dieser Stelle abbrechen. c) 2x – 1 = x d) ​x​ 2 ​= 16 x = 1 x = 4 = x = – 4 L = {1} L = {4; – 4} BEMERkUNg: Die Mengen G, D und L dienen in erster Linie der theoretischen Beschreibung von Gleichungen. In der Praxis ergibt es wenig Sinn, diese Mengen bei jeder Gleichungslösung anzuschreiben. Meist geht man lediglich wie in den folgenden Beispielen vor. BEISpIElE : 1) 1 = ​ 3 _ x (x ≠ 0) | · x 2) 1 = ​ 4 _ ​x​ 2 ​ (x ≠ 0) | · x 2 ​ x = 3 ​x​ 2 ​= 4 x = 2 = x = – 2 R kompakt Seite 52 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv