Mathematik verstehen 5, Schulbuch

47 2 . 3 UMfORMEN vON TERMEN UND GlEIChUNgEN 2 . 69 Drücke in der folgenden Gleichung jede der vorkommenden variablen durch die übrigen variablen aus! Nimm dabei an, dass alle auftretenden Nenner von 0 verschieden sind! a) u · v + a · b = w + 1 c) a · c – b · d = e e) x · y + a · u – b = 2 g) x · y = 2 · z · u b) x · y + r _ s = t d) u + v · w _ x = y – 1 f) r + s = a – b _ c + d h) a = c – x – y _ d 2 . 70 Drücke die angegebene variable durch die übrigen variablen der Formel aus! Nimm dabei an, dass alle auftretenden Nenner von 0 verschieden sind! a) v = f _ g – f , f = ? b) 1 _ g + 1 _ b = 1 _ f , b = ? c) 1 _ R = 1 _ R 1 + 1 _ R 2 + 1 _ R 3 , R = ? Grund-, Definitions- und Lösungsmenge von Termen und Gleichungen Terme und Gleichungen in einer Variablen kann man in der Sprache der Mengenlehre genauer beschreiben. Zunächst führen wir den folgenden Begriff für Terme ein: Die Definitionsmenge D eines Terms in einer Variablen (etwa x) besteht aus allen reellen Zahlen, die bei Einsetzung für die variable einen Wert ergeben. Man sagt: Der Term ist nur für die Zahlen aus der Definitionsmenge D definiert. BEISpIElE : Für den Term 1 _ x ist D = R *, weil x ≠ 0 sein muss. Für den Term 1 _ x – 3 ist D = R \{3}, weil der Nenner ≠ 0 sein muss. Für den Term 9 _ xist D = R 0 + , weil der Radikand nicht negativ sein darf. Für Gleichungen in einer variablen verwendet man folgende Begriffe: Gegeben ist eine Gleichung in einer Variablen , die wir im Folgenden mit x bezeichnen. Die Grundmenge G der Gleichung besteht aus allen Zahlen, die man als mögliche Werte für x ins Auge fasst. Die Definitionsmenge D der Gleichung besteht aus allen Zahlen x der Grundmenge, für welche die Gleichung eine (wahre oder falsche) Aussage ergibt. Als Lösung der Gleichung bezeichnet man jede Zahl x aus der Definitionsmenge D, für welche die Gleichung eine wahre Aussage liefert. Die Lösungsmenge L der Gleichung ist die Menge aller Lösungen der Gleichung. Die Gleichung heißt lösbar , wenn sie eine Lösung besitzt (dh. wenn die Lösungsmenge nicht leer ist). BEaChtE : Die Grundmenge G ist die Menge, in der man Lösungen sucht. Welche Grundmenge G sinnvollerweise vorgegeben wird, hängt von der Aufgabenstellung ab. Wenn nichts dazugesagt wird, wählt man meist G = R . Wenn aber beispielsweise die variable x eine Anzahl von Dingen bedeutet, dann kann x nur eine natürliche Zahl sein und man wird eher G = N wählen. Es gilt stets: L a D a G BEISpIEl : Für die Gleichung 1 _ x 2 = 1 gilt: Grundmenge G = R (da nichts dazugesagt wird) Definitionsmenge D = R * (da der Nenner auf der linken Seite ≠ 0 sein muss) Lösungsmenge L = {1, –1} (da nur diese beiden Zahlen die Gleichung erfüllen) R Nur z Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv