Mathematik verstehen 5, Schulbuch

43 2 . 3 UMfORMEN vON TERMEN UND GlEIChUNgEN 2 . 3 UMfORMEN vON TERMEN UND GlEIChUNgEN äquivalenzumformungen von Termen äquivalente Terme Zwei Terme , die die gleichen variablen enthalten und die gleichen Belegungen der variablen erlauben, heißen äquivalent (gleichwertig), wenn sie bei gleichen Belegungen der variablen glei- che Werte ergeben. Zwischen äquivalenten Termen darf man ein Gleichheitszeichen (=) setzen. BEISpIElE : Die Terme (x + y) (x – y) und x 2 – y 2 sind äquivalent, denn für x und y darf man beliebige reelle Zahlen einsetzen und bei jeder Belegung von x und y ergeben sich gleiche Werte. Also gilt: (x + y) (x – y) = x 2 – y 2 . Die Terme (x + y) (x – y) und x 2 + y 2 sind nicht äquivalent, denn für x = 2 und y = 1 ergibt der erste Term die Zahl 3 und der zweite Term die Zahl 5. Eine Umformung eines Terms in einen äquivalenten Term bezeichnet man als äquivalenzumformung . Um Terme in äquivalente Terme umzuformen, bedient man sich gewisser Termumformungs regeln , von denen einige wichtige im Folgenden angeführt und an Beispielen illustriert werden. Dabei sind A, B und C reelle Zahlen. BEaChtE beim Anwenden solcher Regeln stets die Hierarchie der Rechenoperationen : Klammern ¥ Potenzen ¥ Punktrechnungen ¥ Strichrechnungen. 1. Klammerauflösungsregeln zB: A – (B + C) = A – B – C BEISpIEl : 5x + y – (x – 3) = 5x + y – x + 3 = 4x + y + 3 2. Distributivgesetze zB: A · (B – C) = A · B – A · C von links nach rechts bedeuten die Distributivgesetze Multiplizieren einer Zahl mit einer Klammer , von rechts nach links gelesen Herausheben eines gemeinsamen Faktors . BEISpIElE : Multiplizieren: 3 · (x – y) + 2y = 3x – 3y + 2y = 3x – y herausheben: x 2 y – y = y · (x 2 – 1) x 2 y – 2xy 2 = xy · (x – 2y) 3. Multiplizieren von Klammern zB: (A + B) · (C – D) = A · C + B · C – A · D – B · D BEISpIEl : (x + 2y) · (x – y) = x 2 + 2xy – xy – 2y 2 = x 2 + xy – 2y 2 4. Binomische Formeln (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A – B) 2 = A 2 – 2AB + B 2 (A + B) · (A – B) = A 2 – B 2 BEISpIElE : (2x + 3y) 2 – 12x 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2 – 12xy = 4x 2 + 9y 2 x 2 – (x – 3y) 2 = x 2 – (x 2 – 6xy + 9y 2 ) = x 2 – x 2 + 6xy – 9y 2 = 6xy – 9y 2 (x + 3y) · (x – 3y) = x 2 – 9y 2 R kompakt Seite 52 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv