Mathematik verstehen 5, Schulbuch

42 2 TERME UND FORMElN Terme und Formeln zur Verzinsung Wird ein Geldbetrag (ein Kapital) auf einem Konto jährlich mit p% p. a. (pro anno) verzinst, so heißt das, dass am Ende eines jeden Jahres p% des jeweils vorhandenen Kapitals als Zinsen zum vorhandenen Kapital addiert werden. In Österreich zahlt man allerdings eine Kapitalertragsteuer (KESt) von 25%, dh. dass ein viertel der erhaltenen Zinsen an den Staat abgegeben werden müssen. Die verbleibenden Zinsen nennt man die effektiven Zinsen , den dazugehörigen Zinssatz p eff % = 0,75 · p% nennt man den effektiven Zinssatz . BEaChtE : Im Folgenden wird ein Ausdruck der Form p% als Zinssatz bezeichnet. Die Zahl p (ohne Prozentzeichen) wird manchmal Prozentfuß genannt. 2 . 49 Ein Kapital von K€ wird jährlich mit einem effektiven Zinssatz a) von 1%, b) von p eff % verzinst. Wie groß ist das Kapital nach 1, 2, 3, 4 bzw. n Jahren? LöSUNg: a) Wir bezeichnen das Kapital nach n Jahren mit K n . b) K n = 2 1 + p eff _ 100 3 n · K K 1 = 1,01 · K K 2 = 1,01 · K 1 = 1,01 · 1,01 · K = 1,01 2 · K K 3 = 1,01 · K 2 = 1,01 · 1,01 2 · K = 1,01 3 · K K 4 = 1,01 · K 3 = 1,01 · 1,01 3 · K = 1,01 4 · K K n = 1,01 n · K AUfgabEN 2 . 50 a) Ein Kapital von 10000€ wird jährlich mit einem effektiven Zinssatz von 0,2% verzinst. Wie groß ist das Kapital nach 20 Jahren? b) Ein Bankguthaben von 15500€ ist in 10 Jahren auf 15655,70€ angewachsen. Mit welchem effektiven Zinssatz wurde das Kapital verzinst? c) Ein Sparguthaben ist im Lauf von 10 Jahren bei einer effektiven jährlichen verzinsung von 1% auf 49708,00€ angewachsen. Wie groß war das ursprüngliche Sparguthaben? 2 . 51 Ein Anfangskapital K wird 3 Jahre lang mit einem effektiven Zinssatz von p eff % verzinst und wächst dadurch auf das Endkapital E an. Ermittle eine Formel zur Berechnung von: a) E aus K und p eff b) K aus E und p eff c) p eff aus K und E 2 . 52 Ein Kapital K wird 3 Jahre lang mit einem effektiven Zinssatz von 0,5% und weitere 5 Jahre mit einem effektiven Zinssatz von 0,7% verzinst. Stelle eine Formel für das Endkapital E auf! 2 . 53 Ein Kapital von 2000€ wird 5 Jahre lang mit einem effektiven Zinssatz von 1,5% verzinst. Um wie viel Prozent erhöht sich dabei das ursprüngliche Kapital? 2 . 54 Ein Guthaben beträgt zu Jahresbeginn x€, wird mit einem effektiven Zinssatz von u% verzinst und beträgt am Jahresende y€. Kreuze die zutreffende(n) Gleichung(en) an! x + u = y  y = x + u%  x · 2 1 + u _ 100 3 = y  x + u% von x = y  u = 2 y _ x – 1 3 · 100  R Ó Applet 7k75eb R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv