Mathematik verstehen 5, Schulbuch

285 ANhaNG: BEWEISE Zu 8.1 (Seiten 156 und 157) Satz Der Graph einer quadratischen Polynomfunktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) besitzt die Symmetrieachse x = – b _ 2a . BEWEIs : Wir zeigen, dass für alle h * R + gilt: f 2 – b _ 2a – h 3 = f 2 – b _ 2a + h 3 f 2 – b _ 2a – h 3 = a 2 – b _ 2a – h 3 2 + b 2 – b _ 2a – h 3 + c = a 2 b 2 _ 4a 2 + bh _ a + h 2 3 – b 2 _ 2a – bh + c = = b 2 _ 4a + bh + ah 2 – b 2 _ 2a – bh + c = ah 2 – b 2 _ 4a + c f 2 – b _ 2a + h 3 = a 2 – b _ 2a + h 3 2 + b 2 – b _ 2a + h 3 + c = a 2 b 2 _ 4a 2 – bh _ a + h 2 3 – b 2 _ 2a + bh + c = = b 2 _ 4a – bh + ah 2 – b 2 _ 2a + bh + c = ah 2 – b 2 _ 4a + c  Satz Der Graph einer Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c ist eine für a > 0 nach oben offene und für a < 0 nach unten offene Parabel mit dem Scheitel S = 2 – b _ 2a 1 f 2 – b _ 2a 3 3 . BEWEIs : f(x) = ax 2 + bx + c = a · 2 x 2 + b _ a x + c _ a 3 = a · 4 2 x + b _ 2a 3 2 – b 2 _ 4a 2 + c _ a 5 = a · 2 x + b _ 2a 3 2 + c – b 2 _ 4a Falls a > 0, folgt daraus: Für x = – b _ 2a ist f(x) = c – b 2 _ 4a und für x ≠ – b _ 2a ist f(x) > c – b 2 _ 4a . Falls a < 0, folgt daraus: Für x = – b _ 2a ist f(x) = c – b 2 _ 4a und für x ≠ – b _ 2a ist f(x) < c – b 2 _ 4a . Somit ist die Parabel für a > 0 nach oben offen, für a < 0 nach unten offen und besitzt in beiden Fällen den Scheitel S = 2 – b _ 2a 1 c – b 2 _ 4a 3 = 2 – b _ 2a 1 f 2 – b _ 2a 3 3 .  Zu 13.2 (Seite 264) Satz Für den Flächeninhalt A eines von den vektoren _ À u= (u 1 1 u 2 ) und _ À v= (v 1 1 v 2 ) aufgespannten Dreiecks gilt: (1) Flächeninhalt in vektorform A = 1 _ 2 · 9 ________ _ À u 2 · _ À v 2 – ( _ À u· _ À v) 2 (2) Flächeninhalt in Koordinatenform A = 1 _ 2 · ‡ u 1 · v 2 – u 2 · v 1 ‡ BEWEIs : Nach der trigonometrischen Flächeninhaltsformel gilt: (1) A = ‡ _ À u ‡ · ‡ _ À v ‡ _ 2 · sin φ = ‡ _ À u ‡ · ‡ _ À v ‡ _ 2 · 9 _____ 1 – cos 2 φ Setzen wir hier cos φ = _ À u· _ À v _ ‡ _ À u ‡ · ‡ _ À v ‡ ein, erhalten wir: A = ‡ _ À u ‡ · ‡ _ À v ‡ _ 2 · 9 ______ 1 – ( _ À u· _ À v) 2 __ ‡ _ À u ‡ 2 · ‡ _ À v ‡ 2 = ‡ _ À u ‡ · ‡ _ À v ‡ _ 2 · 9 ________ ‡ _ À u ‡ 2 · ‡ _ À v ‡ 2 – ( _ À u· _ À v) 2 ___ ‡ _ À u ‡ 2 · ‡ _ À v ‡ 2 = = ‡ _ À u ‡ · ‡ _ À v ‡ __ 2 · ‡ _ À u ‡ · ‡ _ À v ‡ · 9 __________ ‡ _ À u ‡ 2 · ‡ _ À v ‡ 2 – ( _ À u· _ À v) 2 = 1 _ 2 · 9 ________ _ À u 2 · _ À v 2 – ( _ À u· _ À v) 2 (2) A = 1 _ 2 · 9 ________ _ À u 2 · _ À v 2 – ( _ À u· _ À v) 2 = 1 _ 2 · 9 ___________________ (u 1 1 u 2 ) 2 · (v 1 1 v 2 ) 2 – [(u 1 1 u 2 ) · (v 1 1 v 2 )] 2 = = 1 _ 2 · 9 _________________ 2 u 1 2 + u 2 2 3 · 2 v 1 2 + v 2 2 3 – 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 3 2 = = 1 _ 2 · 9 _______________________________ u 1 2 · v 1 2 + u 2 2 · v 1 2 + u 1 2 · v 2 2 + u 2 2 · v 2 2 – u 1 2 · v 1 2 – 2u 1 u 2 v 1 v 2 – u 2 2 · v 2 2 = = 1 _ 2 · 9 ______________ u 1 2 · v 2 2 – 2u 1 u 2 v 1 v 2 + u 2 2 · v 1 2 = 1 _ 2 · 9 _______ (u 1 v 2 – u 2 v 1 ) 2 = 1 _ 2 · ‡ u 1 v 2 – u 2 v 1 ‡  u φ v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv