Mathematik verstehen 5, Schulbuch

283 JAHRESCHECK 9 Reziproke quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung mit den Lösungen z und 1 _ z (mit z * R *) nennt man eine reziproke quadratische Gleichung . a) Zeige: x 2 – 5 _ 2 x + 1 = 0 ist eine reziproke quadratische Gleichung. Gib eine weitere reziproke quadratische Gleichung an! b) Begründe: Ist x 2 + px + q = 0 eine reziproke quadratische Gleichung, dann ist q = 1. Drücke p durch z aus! c) Kann eine reziproke quadratische Gleichung eine positive und eine negative Lösung haben? Begründe die Antwort! Kann eine reziproke quadratische Gleichung nur eine Lösung haben? Wenn ja, welche Zahlen kommen als Lösung in Frage? d) Nebenstehend ist eine quadratische Polynomfunktion f dargestellt. Kann die Gleichung f(x) = 0 eine reziproke quadratische Gleichung sein? Begründe die Antwort! Gegeben ist eine reziproke quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 mit den Lösungen z und 1 _ z . Der Graph der zugehörigen quadratischen Funktion f mit f(x) = x 2 + px + q ist eine Parabel. Zeige, dass für den Scheitel S dieser Parabel gilt: S = 2 z 2 + 1 _ 2z 1 f 2 z 2 + 1 _ 2z 3 3 10 Lineares versus quadratisches Modell Ein verlag bringt ein neues Buch heraus. Bei der Markteinführung werden 18000 Exemplare verkauft, zwei Jahre später 21 000. Die beiden verlagsleiterinnen, Frau Lerch und Frau Nachti- gall, schätzen, wie viele Exemplare voraussichtlich 4 Jahre nach der Markteinführung abgesetzt werden. Im Folgenden gibt A(0) die verkaufszahl bei der Markteinführung und A(n) die Anzahl der im n-ten Jahr nach der Markteinführung verkauften Bücher an. a) Frau Lerch geht von einem linearen Modell aus: A(n) = k · n + d (mit k, d * R + ). Wie lautet ihre vorhersage für A(4)? Frau Nachtigall geht von folgendem quadratischen Modell aus: A(n) = a · n 2 + c (mit a, c * R + ). Wie lautet ihre vorhersage für A(4)? b) Berechne A(n) für jedes der beiden Modelle für n = 1, 2, 3, 4, 5 und trage die entsprechenden Punkte in das nebenstehende Koordinatensystem ein! In welchem Zeitraum unterscheiden sich die beiden Modelle nicht sehr stark? Berechne für jedes der beiden Modelle, um wie viel Prozent die verkaufszahlen im 5. Jahr nach der Markteinführung über der verkaufszahl bei der Markeinführung liegen würde! AG-R 2 .1 AG-R 2 . 3 FA-R 4 . 3 x f(x) 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 – 3 – 2 – 1 0 f FA-R 1 . 2 FA-R 1 . 3 FA-R 1 . 7 n A(n) 1 2 3 4 5 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv