Mathematik verstehen 5, Schulbuch

27 1 . 7 TEI lbaRkEI t UNd PRImZaHlEN Wie viele Primzahlen gibt es? Schon EUKLID (um 300 v. Chr.) hat bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Wir wiederholen seinen Gedankengang: Satz Es gibt unendlich viele Primzahlen. INdIREktER BEwEIS : Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen p 1 , p 2 , …, p k . Die Zahl p 1 · p 2 ·…· p k + 1 muss nach dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie mindestens einen Prim- faktor p als Teiler besitzen. Es gibt also eine natürliche Zahl x mit p 1 · p 2 ·…· p k + 1 = p · x und somit ist 1 = p · x – p 1 · p 2 ·…· p k . Die Primzahl p kann unter den Primzahlen p 1 , p 2 , …, p k nicht vorkommen, weil sonst 1 durch p teilbar sein müsste, was aber wegen p > 1 nicht möglich ist. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass die Primzahlen p 1 , p 2 , …, p k alle Primzahlen sind.  In Bezug auf Primzahlen gibt es heute noch ungelöste Probleme. Zwei davon sind: Die Goldbachsche vermutung: Der Mathematiker Christian Goldbach (1690–1764) hat die vermutung ausgesprochen, dass sich jede gerade natürliche Zahl n º 4 als Summe zweier (eventuell gleicher) Primzahlen darstellen lässt (zB 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5). Bis heute hat man noch kein Gegenbeispiel gefunden, bewiesen wurde die vermutung aber auch nicht. Das Problem der Primzahlzwillinge: Zwei Primzahlen, die sich um 2 unterscheiden, bilden einen so genannten Primzahlzwilling, zB (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), (29; 31), (41; 43), … Hört diese Aufzählung einmal auf oder gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge? Auch diese Frage konnte bis heute nicht beantwortet werden. AUFgabEN 1 . 74 Beweise für alle n * ℕ *: 1 ! n und n ! n 1 . 75 Beweise für alle a, b, c * ℕ *: a ! b ? b ! c w a ! c 1 . 76 Beweise für alle a, b * ℕ *: a ! b ? b ! a w a = b 1 . 77 Gib alle Primzahlen bis 100 an! 1 . 78 Zerlege in Primfaktoren: a) 266 b) 1155 c) 462 d) 728 e) 6900 f) 39424 1 . 79 Begründe, dass man die Primzahlen auch so definieren könnte: Eine natürliche Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn sie genau zwei natürliche Teiler besitzt. 1 . 80 1) Es sei n = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 ·…· 99 · 100. Begründe, dass die Zahlen n + 2, n + 3, …, n + 100 keine Primzahlen sind! 2) Es sei n = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 ·…· k. Begründe, dass die Zahlen n + 2, n + 3, …, n + k keine Primzahlen sind! 3) Gibt es 100000 aufeinander folgende natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind? Begründe die Antwort! L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv