Mathematik verstehen 5, Schulbuch

266 13 WEI tERE ANwENDUNgEN vON vEktOREN IN R 2 13 . 38 Berechne den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC mit A = (0 1 0), B = (6 1 0), C = (2 1 8)! LösUNg: _ À AB= (6 1 0) u (1 1 0), _ À AC= (2 1 8) u (1 1 4) Seitenmittelpunkte: M c = (3 1 0), M b = (1 1 4) Gleichungen der Seitensymmetralen: m c geht durch M c und hat den Normalvektor (1 1 0): ( 1 0  ) · ( x y  ) = ( 1 0  ) · ( 3 0  ) w x = 3 m b geht durch M b und hat den Normalvektor (1 1 4): ( 1 4  ) · ( x y  ) = ( 1 4  ) · ( 1 4  ) w x + 4y = 17 Der Umkreismittelpunkt U ist der Schnittpunkt von m c und m b : { x = 3 x + 4y = 17 w x = 3, y = 3,5 w U = (3 1 3,5) 13 . 39 Berechne den Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC mit A = (– 5 1 – 2), B = (9 1 – 2), C = (4 1 10)! LösUNg: Seitenvektoren: _ À AB= (14 1 0) u (1 1 0) mit † (1 1 0) † = 1 _ À AC= (9 1 12) u (3 1 4) mit † (3 1 4) † = 5 _ À BC= (– 5 1 12), mit † (– 5 1 12) † = 13 Richtungsvektoren der Winkelsymmetralen: Wir addieren Vektoren mit gleichem Betrag: _ À w α = 5 · (1 1 0) + 1 · (3 1 4) = (8 1 4) u (2 1 1) _ À w β = 13 · (–1 1 0) + 1 · (– 5 1 12) = (–18 1 12) u (– 3 1 2) Gleichungen der Winkelsymmetralen: Normalvektor von w α : _ À n α = (1 1 – 2) Normalvektor von w β : _ À n β = (2 1 3) w α geht durch A mit dem Normalvektor n α : w β geht durch B mit dem Normalvektor n β : 2 1 – 2  3 · 2 x y  3 = 2 1 – 2  3 · 2 – 5 – 2  3 w x – 2y = – 1 2 2 3  3 · 2 x y  3 = 2 2 3  3 · 2 9 – 2  3 w 2x + 3y = 12 Der Inkreismittelpunkt I ist der Schnittpunkt von w α und w β : { x – 2y = – 1 2x + 3y = 12  w x = 3, y = 2 w I = (3 1 2) AUFgabEN 13 . 40 Berechne den Umkreismittelpunkt U, den höhenschnittpunkt h und den Umkreisradius r des Dreiecks ABC! a) A = (– 6 1 2), B = (8 1 – 6), C = (14 1 12) b) A = (– 5 1 – 3), B = (10 1 2), C = (3 1 9) 13 . 41 Berechne den Inkreismittelpunkt I des Dreiecks ABC! a) A = (2 1 –10), B = (20 1 14), C = (– 5 1 14) b) A = (– 3 1 0), B = (6 1 0), C = (12 1 8) 13 . 42 Berechne den höhenschnittpunkt h, den Umkreismittelpunkt U und den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. Zeige, dass S, h und U auf einer gemeinsamen Geraden liegen (der sog. Euler’schen Geraden), wobei S die Strecke hU im Verhältnis 2 : 1 teilt! a) A = (– 4 1 1), B = (8 1 – 2), C = (–1 1 7) c) A = (– 8 1 –1), B = (10 1 –1), C = (7 1 8) b) A = (–1 1 –7), B = (5 1 5), C = (2 1 8) d) A = (– 5 1 –1), B = (7 1 – 4), C = (1 1 2) 0 2. A. 1. A. U m b m a M b M a M c A B C m c 1 1 0 1 1 2. A. 1. A. A B C I w α w γ w β L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv