Mathematik verstehen 5, Schulbuch

265 13 . 2 EINHEI tsvEktOREN; ABstaND PUNkt – GERaDE ; MERkwÜRDIgE PUNktE Winkelsymmetralen Satz Die Winkelsymmetralen w 1 und w 2 zweier einander schneidenden Geraden g und h sind stets zu- einander normal. BEWEIS : Der Abbildung entnimmt man: 2 α + 2 β = 180°. Daraus folgt: α + β = 90°.  13 . 36 Ermittle Parameterdarstellungen der Winkelsymmetralen der Geraden g und h! g: X = (0 1 4) + s · (2 1 2), h: X = (0 1 4) + t · (7 1 –1) LösUNg: _ À g= (2 1 2), † _ À g † = 9 _ 8= 2 · 9 _ 2, _ À h= (7 1 –1), † _ À h † = 9 __ 50= 5 · 9 _ 2 Einen Richtungsvektor _ À w 1 der Winkelsymmetralen w 1 erhält man durch Addition zweier Richtungsvektoren von g und h mit gleichem Betrag (siehe Abbildung). Die Diagonale des von diesen beiden Vektoren aufgespannten Rhombus halbiert nämlich den Winkel zwischen g und h. Die Vektoren 5 · _ À gund 2 · _ À hhaben den gleichen Betrag, nämlich 10 · 9 _ 2. _ À w 1 = 5 · _ À g+ 2 · _ À h= 5 · (2 1 2) + 2 · (7 1 –1) = (24 1 8) u (3 1 1) w 2 © w 1 w _ À w 2 = (– 8 1 24) u (–1 1 3) w 1 : X = (0 1 4) + u · (3 1 1), w 2 : X = (0 1 4) + v · (–1 1 3) Merkwürdige Punkte von Dreiecken 13 . 37 Berechne den Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC mit A = (–8 1 –1), B = (7 1 – 4), C = (4 1 7)! LösUNg: Seitenvektoren: _ À AB= (15 1 – 3) = 3 · (5 1 –1), _ À AC= (12 1 8) = 4 · (3 1 2) Gleichungen der Höhenlinien: h c geht durch C und hat den Normalvektor _ À AB: ( 5 –1 ) · ( x y  ) = ( 5 –1 ) · ( 4 7  ) w 5x – y = 13 h b geht durch B und hat den Normalvektor _ À AC: ( 3 2  ) · ( x y  ) = ( 3 2  ) · ( 7 – 4  ) w 3x + 2y = 13 Der Höhenschnittpunkt H ist der Schnittpunkt von h c und h b : { 5x – y = 13 3x + 2y = 13 w x = 3, y = 2 w h = (3 1 2) L β β g h w 2 w 1 α α 1. A. 2. h w 1 w 2 g A. 4 2 · h 8 12 16 20 24 28 32 – 16 – 12 – 8 – 4 4 8 12 16 20 0 w 2 w 1 5 · g L 0 1 1 2. A. 1. A. A B C h h a h c h b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv