Mathematik verstehen 5, Schulbuch

264 13 WEI tERE ANwENDUNgEN vON vEktOREN IN R 2 13 . 28 Welchen Abstand haben die beiden parallelen Geraden g und h voneinander? a) g: X = (0 1 1) + s (2 1 –1), h: X = (–1 1 1) + t (– 4 1 2) b) g: X = (– 2 1 3) + s (4 1 – 3), h: X = (2 1 5) + t (– 4 1 3) 13 . 29 Gegeben sind die Geraden g: 2x – 3y = –14 und h: – 3x + 2y = –19. Zeige: Der Punkt P = (4 1 3) hat von g bzw h den gleichen Normalabstand. 13 . 30 1) Welchen Abstand hat die Gerade g: 3x + 2y = 13 vom Ursprung? 2) Welcher Punkt der Geraden g hat vom Ursprung den kürzesten Abstand? 13 . 31 a) Gegeben sei die Gerade g: 3x + 4y = c. Berechne c * R so, dass der Punkt P = (2 1 3) von der Geraden g den Abstand d = 4 hat! b) Gegeben sei die Gerade g: 8x – 6y = –14. Berechne p 1 * R so, dass der Punkt P = (p 1 1 8) von der Geraden g den Abstand d = 3 hat! Flächeninhalt eines Dreiecks Satz Für den Flächeninhalt A eines von den Vektoren _ À u= (u 1 1 u 2 ) und _ À v= (v 1 1 v 2 ) aufgespannten Dreiecks gilt: (1) Flächeninhalt in vektorform A = 1 _ 2 · 9 ________ _ À u 2 · _ À v 2 – ( _ À u· _ À v) 2 (2) Flächeninhalt in Koordinatenform A = 1 _ 2 · † u 1 · v 2 – u 2 · v 1 † Ein Beweis dieses Satzes findet sich im Anhang auf Seite 285. 13 . 32 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A = (–3 1 0), B = (3 1 – 2) und C = (0 1 4)! 1 . LösUNgsMögl ICHkEI t : Das Dreieck wird von den Vektoren _ À u= _ À AB= (6 1 – 2) und _ À v= _ À AC= (3 1 4) aufgespannt. A = 1 _ 2 · 9 _____________ 2 6 – 2  3 2 · 2 3 4  3 2 – 4 2 6 – 2  3 · 2 3 4  3 5 2 = 1 _ 2 · 9 _______ 40 · 25 – 10 2 = 15 2 . LösUNgsMögl ICHkEI t : A = 1 _ 2 · † 6 · 4 – (–2) · 3 † = 1 _ 2 · 30 = 15 AUFgabEN 13 . 33 Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren _ À uund _ À vaufgespannten Dreiecks! a) _ À u= (6 1 1), _ À v= 2 2 1 8 3 b) _ À u= (8 1 3), _ À v= (– 4 1 7) c) _ À u= (10 1 0), _ À v= (–1 1 10) 13 . 34 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC! a) A = (0 1 1), B = (7 1 3), C = (5 1 10) b) A = (– 3 1 – 6), B = (9 1 4), C = (0 1 12) 13 . 35 Gib zwei Formeln für den Flächeninhalt eines von den Vektoren _ À u= (u 1 1 u 2 ) und _ À v= (v 1 1 v 2 ) aufgespannten Parallelogramms an! Berechne dann den Flächeninhalt für: a) _ À u= (3 1 6), _ À v= (– 2 1 5) b) _ À u= (5 1 – 4), _ À v= (3 1 9) c) _ À u= (0 1 –10), _ À v= (6 1 6) L u v 1. A. 2. C B A A. 1 2 3 – 3 – 2 1 2 3 4 – 2 – 1 0 v u L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv