Mathematik verstehen 5, Schulbuch

263 13 . 2 EINHEI tsvEktOREN; ABstaND PUNkt – GERaDE ; MERkwÜRDIgE PUNktE BEwEIs : Wir unterscheiden die drei auf der vorigen Seite dargestellten Fälle. 0° ª φ < 90°: † _ À a b † = † _ À a † · cos φ = † _ À a † · _ À a· _ À b _ † _ À a † · † _ À b † = _ À a· _ À b _ † _ À b † = † _ À a· _ À b † _ † _ À b † (da _ À a· _ À b> 0) φ = 90°: † _ À a b † = † _ À o † = 0 = † _ À a· _ À b † _ † _ À b † (da _ À a· _ À b= 0) 90° < φ ª 180°: † _ À a b † = † _ À a † · cos(180° – φ ) = – † _ À a † · cos φ = – † _ À a † · _ À a· _ À b _ † _ À a † · † _ À b † = † _ À a· _ À b † _ † _ À b † (da _ À a· _ À b< 0)  13 . 23 Gegeben sind die Vektoren _ À a= (1 1 5) und _ À b= (4 1 3). Berechne den Betrag der Normalprojektion des Vektors _ À aauf den Vektor _ À b! LösUNg: † _ À a b † = † _ À a· _ À b † _ † _ À b † = † 2 1 5  3 · 2 4 3  3 † __ 9 ____ 16 + 9 = † 1 · 4 + 5 · 3 † __ 9 _ 25 = 19 _ 5 = 3,8 AUFgabEN 13 . 24 Stelle die Vektoren _ À aund _ À bals Pfeile von O aus dar, zeichne die Normalprojektion von _ À aauf _ À bein und berechne deren Betrag! Kontrolliere durch Messung! a) _ À a= (2 1 2), _ À b= (4 1 0) c) _ À a= (– 3 1 1), _ À b= (3 1 3) b) _ À a= (2 1 3), _ À b= (4 1 1) d) _ À a= (–1 1 2), _ À b= (4 1 2) Abstand eines Punktes von einer Geraden Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g kann folgendermaßen berechnet werden: Man ermittelt einen beliebigen Punkt A auf g und einen Normalvektor _ À nvon g. Der gesuchte Abstand d ist gleich dem Betrag der Normal projektion des Vektors _ À APauf _ À n: d = † _ À AP· _ À n † _ † _ À n † Wir haben somit eine Formel bewiesen, die auf Ludwig Otto Hesse (1811 –1874) zurückgeht: Satz (Hesse’sche Abstandsformel) Für den Abstand d eines Punktes P * ℝ 2 von einer Geraden g * ℝ 2 gilt: d = † _ À AP· _ À n † __ † _ À n † Dabei ist A ein beliebiger Punkt von g und _ À nein Normalvektor von g. AUFgabEN 13 . 25 Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g! a) P = (3 1 – 3), g: x + 2y = 7 c) P = (–7 1 – 4), g: 5x – 12y = 0 b) P = (1 1 2), g: 2x – 3y = – 4 d) P = (0 1 0), g: 3x – 4y + 1 = 0 13 . 26 Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g! a) P = (1 1 8), g: X = (0 1 1) + t · (3 1 2) b) P = (7 1 – 2), g: X = (1 1 – 2) + t · (2 1 5) 13 . 27 Berechne für das Dreieck ABC die Längen der höhen und die Maße der Winkel! a) A = (– 2 1 4), B = (3 1 –1), C = (6 1 8) c) A = (0 1 0), B = (6 1 0), C = (3 1 4) b) A = (0 1 0), B = (8 1 6), C = (5 1 12) d) A = (– 6 1 8), B = (10 1 – 4), C = (1 1 8) L L g A P d d n L kompakt Seite 267 Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv