Mathematik verstehen 5, Schulbuch

262 13 WEI tERE ANwENDUNgEN vON vEktOREN IN R 2 13 .17 Spiegle den Punkt Q = (1 1 4) an der Geraden g: X = (2 1 1) + t · (1 1 2)! LösUNg: _ À g= (1 1 2), _ À n= (2 1 –1) n: X = (1 1 4) + s · (2 1 –1) Berechnung des Schnittpunktes S von g und n: ( 2 1  ) + t · ( 1 2  ) = ( 1 4  ) + s · ( 2 –1 ) É { 2 + t = 1 + 2s 1 + 2t = 4 – s  É t = 1, s = 1 S = (2 1 1) + 1 · (1 1 2) = (3 1 3) _ À QS= (2 1 –1) Q‘ = S + _ À QS= (3 1 3) + (2 1 –1) = (5 1 2) AUFgabEN 13 .18 Eine Strecke der Länge s wird vom Punkt P in Richtung des Vektors _ À aabgetragen. Ermittle zeichnerisch und rechnerisch den zweiten Endpunkt der Strecke! a) s = 5, P = (1 1 0), _ À a= (4 1 3) c) s = 3 9 _ 5, P = (4 1 – 0,5), _ À a= (– 2 1 1) b) s = 4, P = (–1 1 – 3), _ À a= (12 1 16) d) s = 4, P = (– 3 1 2,5), _ À a= (5 1 0) 13 .19 Vom Punkt P aus wird in Richtung des Vektors _ À aeine Strecke der Länge s abgetragen. Man erhält so den anderen Streckenendpunkt Q. Berechne den Einheitsvektor _ À a 0 und den Punkt P! a) s = 4, Q = (5 1 4), _ À a= (4 1 3) b) s = 4 9 _ 5, Q = (4 1 – 0,5), _ À a= (8 1 – 4) 13 . 20 Ermittle die Punkte auf g, die vom Punkt P * g den Abstand d haben! a) g: X = (–7 1 7) + t · (4 1 – 3), P = (x 1 1), d = 5 c) g: X = (15 1 24) + t · (7 1 24), P = (15 1 y), d = 100 b) g: X = (15 1 13) + t · (5 1 12), P = (10 1 y), d = 13 d) g: X = (7 1 –1) + t · (3 1 –1), P = (x 1 1), d = 2 9 __ 10 13 . 21 Von einem Rechteck ABCD kennt man die Koordinaten zweier Eckpunkte und eine Seitenlänge. Ermittle durch Zeichnung und Rechnung die Koordinaten der übrigen Eckpunkte (2 Lösungen)! a) A = (3 1 0), B = (5 1 0), _ À AD= 2 c) B = (0 1 3), C = (1 1 2), _ À CD= 3 9 _ 2 b) A = (1 1 1), B = (5 1 4), _ À BC= 2,5 d) A = (– 2 1 – 2), D = (– 5 1 2) , _ À AB= 5 13 . 22 Spiegle den Punkt P an der Geraden g und gib die Koordinaten des Bildpunktes an! a) g: X = (7 1 7) + t · (2 1 1), P = (1 1 9) c) g: X = (– 5 1 – 2) + t · (4 1 3), P = (– 3 1 12) b) g: X = (– 3 1 7) + t · (3 1 –2), P = (10 1 7) d) g: X = (6 1 3) + t · (3 1 –3), P = (2 1 –1) Normalprojektion eines vektors auf einen anderen vektor Wir betrachten zwei von _ À overschiedene Vektoren _ À a, _ À b * ℝ 2 , deren Winkelmaß φ beträgt (siehe die drei nachfolgenden Abbildungen). Den Vektor _ À a b in diesen Abbildungen nennt man die Normalprojektion von _ À aauf _ À b . Für φ = 90° ist dieser Vektor der Nullvektor. 0° ª φ < 90° φ = 90° 90° < φ ª 180° Satz Für den Betrag der Normalprojektion von _ À aauf _ À b gilt: † _ À a b † = † _ À a· _ À b † _ † _ À b † 0 1 1 2. A. 1. A. S Q' Q n g L kompakt Seite 267 L a a b b φ a b a b a a b b φ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv