Mathematik verstehen 5, Schulbuch
261 13 . 2 EINHEI tsvEktOREN; ABstaND PUNkt – GERaDE ; MERkwÜRDIgE PUNktE 13 . 2 EINHEItsvEktOREN; ABstaND PUNkt – GERaDE; MERkwÜRDIgE PUNktE Einheitsvektoren 13 .11 Sei _ À a≠ _ À o. Zeige: Der Vektor _ À a 0 = 1 _ † _ À a † · _ À aist zu _ À aparallel, zu _ À agleich gerichtet und hat den Betrag 1. LösUNg: _ À a 0 = 1 _ † _ À a † · _ À a w _ À a 0 u _ À a. Wegen † _ À a † > 0 ist _ À a 0 zu _ À agleich gerichtet. † _ À a 0 † = † 1 _ † _ À a † · _ À a † = 1 _ † _ À a † · † _ À a † = 1 Definition Der Vektor _ À a 0 = 1 _ † _ À a † · _ À a heißt der zu _ À agehörige Einheitsvektor ( _ À a≠ _ À o). MERkE : Der Vektor _ À a 0 ist zu _ À aparallel, zu _ À agleich gerichtet und hat den Betrag 1. AUFgabEN 13 .12 Berechne den zu _ À agehörigen Einheitsvektor _ À a 0 ! a) _ À a= (2 1 3) b) _ À a= (1 1 0) c) _ À a= (0,75 1 1) 13 .13 Berechne den zu _ À a= _ À ABgehörigen Einheitsvektor _ À a 0 ! a) A = (0 1 0), B = (3 1 4) c) A = (0 1 3), B = (3 1 0) e) A = (– 5 1 3), B = (3 1 9) b) A = (–7 1 – 9), B = (– 6 1 1) d) A = (4 1 10), B = (5 1 9) f) A = (0,5 1 2,5), B = (9,5 1 –9,5) 13 .14 Ermittle den Vektor _ À b, der zu _ À a= (– 6 1 8) parallel und gleich gerichtet ist sowie den Betrag a) 1, b) 5, c) 10, d) 12, e) k hat! Abtragen von Strecken 13 .15 Vom Punkt P = (1 1 2) aus wird eine Strecke der Länge 10 in Richtung des Vektors _ À a= (3 1 4) abgetragen. Ermittle 1) grafisch, 2) rechnerisch die Koordinaten des zweiten Endpunktes Q dieser Strecke! LösUNg: 1) Laut Abbildung ist Q = (7 1 10). 2) Wir tragen den zu _ À agehörigen Einheitsvektor _ À a 0 von P aus 10-mal ab: Q = P + 10 · _ À a 0 = P + 10 · 1 _ † _ À a † · † _ À a † = 2 1 2 3 + 10 · 1 _ 5 · 2 3 4 3 = 2 7 10 3 13 .16 g: X = (5 1 2) + t · (4 1 3), P = (1 1 p 2 ) * g Ermittle jene Punkte auf g, die von P den Abstand 3 haben! LösUNg: Zeige selbst: P = (1 1 –1). _ À g= (4 1 3), _ À g 0 = 1 _ 5 · (4 1 3) Q 1 = P + 3 · _ À g 0 = (1 1 –1) + 3 · 1 _ 5 · (4 1 3) = 2 17 _ 5 1 4 _ 5 3 = (3,4 1 0,8) Q 2 = P – 3 · _ À g 0 = (1 1 –1) – 3 · 1 _ 5 · (4 1 3) = 2 – 7 _ 5 1 – 14 _ 5 3 = (–1,4 1 – 2,8) L a a 0 L kompakt Seite 267 L 2. A. 1. A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P Q a 0 1 1 2. A. 1. A. – 1 P Q 1 Q 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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