Mathematik verstehen 5, Schulbuch

261 13 . 2 EINHEI tsvEktOREN; ABstaND PUNkt – GERaDE ; MERkwÜRDIgE PUNktE 13 . 2 EINHEItsvEktOREN; ABstaND PUNkt – GERaDE; MERkwÜRDIgE PUNktE Einheitsvektoren 13 .11 Sei ​ ​ _ À a​≠ ​ ​ _ À o​. Zeige: Der Vektor ​ ​ _ À ​a​ 0 ​= ​ 1 _ † ​ ​ _ À a​ † ​ · ​ ​ _ À a​ist zu ​ ​ _ À a​parallel, zu ​ ​ _ À a​gleich gerichtet und hat den Betrag 1. LösUNg: ƒƒ ​ ​ _ À ​a​ 0 ​= ​ 1 _ † ​ ​ _ À a​ † ​ · ​ ​ _ À a​ w ​ ​ _ À ​a​ 0 ​ u ​ ​ _ À a​. Wegen †​ ​ _ À a​ † > 0 ist ​ ​ _ À ​a​ 0 ​zu ​ ​ _ À a​gleich gerichtet. ƒƒ ​ † ​ ​ _ À ​a​ 0 ​ † ​= ​ † ​ 1 _ †​ ​ _ À a​ † ​ · ​ ​ _ À a​ † ​= ​ 1 _ †​ ​ _ À a​ † ​ · † ​ ​ _ À a​ † = 1 Definition Der Vektor ​ ​ _ À ​ a​ 0 ​= ​ 1 _ †​ ​ _ À a​ † ​ · ​ ​ _ À a​ heißt der zu ​ ​ _ À a​gehörige Einheitsvektor (​ ​ _ À a​≠ ​ ​ _ À o​). MERkE : Der Vektor ​ ​ _ À ​a​ 0 ​ist zu ​ ​ _ À a​parallel, zu ​ ​ _ À a​gleich gerichtet und hat den Betrag 1. AUFgabEN 13 .12 Berechne den zu ​ ​ _ À a​gehörigen Einheitsvektor ​ ​ _ À ​a​ 0 ​! a) ​ ​ _ À a​= (2 1 3) b) ​ ​ _ À a​= (1 1 0) c) ​ ​ _ À a​= (0,75 1 1) 13 .13 Berechne den zu ​ ​ _ À a​= ​ ​ _ À AB​gehörigen Einheitsvektor ​ ​ _ À ​a​ 0 ​! a) A = (0 1 0), B = (3 1 4) c) A = (0 1 3), B = (3 1 0) e) A = (– 5 1 3), B = (3 1 9) b) A = (–7 1 – 9), B = (– 6 1 1) d) A = (4 1 10), B = (5 1 9) f) A = (0,5 1 2,5), B = (9,5 1 –9,5) 13 .14 Ermittle den Vektor ​ ​ _ À b​, der zu ​ ​ _ À a​= (– 6 1 8) parallel und gleich gerichtet ist sowie den Betrag a) 1, b) 5, c) 10, d) 12, e) k hat! Abtragen von Strecken 13 .15 Vom Punkt P = (1 1 2) aus wird eine Strecke der Länge 10 in Richtung des Vektors ​ ​ _ À a​= (3 1 4) abgetragen. Ermittle 1) grafisch, 2) rechnerisch die Koordinaten des zweiten Endpunktes Q dieser Strecke! LösUNg: 1) Laut Abbildung ist Q = (7 1 10). 2) Wir tragen den zu ​ ​ _ À a​gehörigen Einheitsvektor ​ ​ _ À ​a​ 0 ​von P aus 10-mal ab: Q = P + 10 · ​ ​ _ À ​a​ 0 ​= P + 10 · ​ 1 _ †​ ​ _ À a​ † ​ · † ​ ​ _ À a​ † = ​ 2 ​ 1 2 ​ 3 ​+ 10 · ​ 1 _ 5 ​· ​ 2 ​ 3 4 ​ 3 ​= ​ 2 ​ 7 10 ​ 3 ​ 13 .16 g: X = (5 1 2) + t · (4 1 3), P = (1 1 p 2 ) * g Ermittle jene Punkte auf g, die von P den Abstand 3 haben! LösUNg: Zeige selbst: P = (1 1 –1). ​ ​ _ À g​= (4 1 3), ​ ​ _ À ​g​ 0 ​ = ​ 1 _ 5 ​· (4 1 3) Q 1 = P + 3 · ​ ​ _ À ​g​ 0 ​ = (1 1 –1) + 3 · ​ 1 _ 5 ​· (4 1 3) = ​ 2 ​ ​ ​ 17 _ 5 ​ 1 ​ 4 _ 5 ​ 3 ​= (3,4 1 0,8) Q 2 = P – 3 · ​ ​ _ À ​g​ 0 ​ = (1 1 –1) – 3 · ​ 1 _ 5 ​· (4 1 3) = ​ 2 – ​ ​ ​ 7 _ 5 ​ 1 ​– ​ 14 _ 5 ​ 3 ​= (–1,4 1 – 2,8) L a a 0 L kompakt Seite 267 L 2. A. 1. A. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P Q a 0 1 1 2. A. 1. A. – 1 P Q 1 Q 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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