Mathematik verstehen 5, Schulbuch

260 13 WEI tERE ANwENDUNgEN vON vEktOREN IN R 2 vorzeichen des Skalarprodukts Für das Winkelmaß φ zweier von ​ ​ _ À o​verschiedener Vektoren ​ ​ _ À a​, ​ ​ _ À b​ * ​ ℝ ​ 2 ​gilt: cos φ = ​ ​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​ _ ​ † ​ ​ _ À a​ † ​· ​ † ​ ​ _ À b​ † ​ ​. Daraus folgt: ​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​= †​ ​ _ À a​ † · ​ † ​ ​ _ À b​ † ​· cos φ Da †​ ​ _ À a​ † und ​ † ​ ​ _ À b​ † ​positiv sind, folgt daraus weiter: ƒƒ ​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​> 0 É cos φ > 0 É 0° ª φ < 90° spitzer Winkel ƒƒ ​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​= 0 É cos φ = 0 É φ = 90° rechter Winkel ƒƒ ​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​< 0 É cos φ < 0 É 90° < φ ª 180° stumpfer Winkel Mit dem zweiten dieser drei Fälle haben wir jetzt einen Satz bewiesen, den wir schon im Abschnitt 11.6 formuliert, aber dort nicht bewiesen haben. Satz (Orthogonalitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ​ ​ _ À a​, ​ ​ _ À b​ * ​ ℝ ​ 2 ​sind genau dann zueinander normal, wenn ​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​= 0 ist. AUFgabEN 13 . 07 Die Vektoren ​ ​ _ À a​und ​ ​ _ À b​seien durch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus dargestellt. Gib ohne Zeichnung an, ob die beiden Pfeile miteinander einen spitzen, rechten oder stumpfen Winkel einschließen! a) ​ ​ _ À a​= (5 1 1), ​ ​ _ À b​= (5 1 3) c) ​ ​ _ À a​= (– 4 1 – 3), ​ ​ _ À b​= (3 1 – 4) e) ​ ​ _ À a​= (– 2 1 3), ​ ​ _ À b​= (2 1 7) b) ​ ​ _ À a​= (– 6 1 2), ​ ​ _ À b​= (6 1 4) d) ​ ​ _ À a​= (1 1 6), ​ ​ _ À b​= (1 1 – 6) f) ​ ​ _ À a​= (– 3 1 3), ​ ​ _ À b​= (3 1 3) 13 . 08 Bilden die Vektoren ​ ​ _ À u​und ​ ​ _ À v​einen spitzen Winkel? Wenn nicht, ändere das Vorzeichen einer Koor- dinate so ab, dass dies der Fall ist! a) ​ ​ _ À u​= (8 1 –11), ​ ​ _ À v​= (– 5 1 6) b) ​ ​ _ À u​= ​ 2 ​ ​ ​ 3 _ 2 ​ 1 ​ 1 _ 2 ​ 3 ​, ​ ​ _ À v​= ​ 2 ​ ​ ​ 1 _ 3 ​ 1 ​– ​ 1 _ 2 ​ 3 ​ c) ​ ​ _ À u​= ​ 2 – ​ 5 _ 4 ​ 1 ​ 4 _ 5 ​ ​ ​ 3 ​, ​ ​ _ À v​= ​ 2 ​ 4 _ 5 ​ 1 ​ 5 _ 4 ​ ​ ​ 3 ​ 13 . 09 Das Viereck ABCD ist ein Rechteck. Berechne die fehlende Koordinate des Punktes C, die Koordi- naten des Punktes D und die Seitenlängen des Rechtecks! Überprüfe durch eine Zeichnung! a) A = (2 1 0), B = (5 1 1), C = (4 1 y) b) A = (– 3 1 1), B = (0 1 – 2), C = (x 1 –1) 13 .10 Untersuche durch Rechnung, welches spezielle Viereck die Punkte A, B, C, D bilden! Überprüfe durch eine Zeichnung! a) A = (1 1 2), B = (9 1 – 4), C = (12 1 0), D = (0 1 9) d) A = (0 1 0), B = (4 1 1), C = (8 1 5), D = (4 1 4) b) A = (3 1 0), B = (8 1 1), C = (7 1 6), D = (2 1 5) e) A = (0 1 3), B = (6 1 1), C = (7 1 4), D = (1 1 6) c) A = (–4 1 –2), B = (1 1 –7), C = (0 1 0), D = (–5 1 5) f) A = (2 1 4), B = (3 1 2), C = (11 1 1), D = (4 1 5) L a b φ a b a b φ L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv