Mathematik verstehen 5, Schulbuch

259 13 .1  ��������� �������������� ��������������� � �������������� 13 . 01 Stelle die Vektoren ​ ​ _ À a​= (5 1 – 2) und ​ ​ _ À b​= (–1 1 4) durch Pfeile von O aus dar und berechne das Maß φ des Winkels, den diese beiden Pfeile miteinander einschließen! LösUNg: Wir verwenden den Cosinussatz: †​ ​ _ À b​– ​ ​ _ À a​ † ​ 2 ​= †​ ​ _ À a​ † ​ 2 ​+ †​ ​ _ À b​ † ​ 2 ​– 2 · †​ ​ _ À a​ † · †​ ​ _ À b​ † · cos φ cos φ = ​ †​ ​ _ À a​ † ​ 2 ​+ †​ ​ _ À b​ † ​ 2 ​– †​ ​ _ À b​– ​ ​ _ À a​ † ​ 2 ​ ____ 2 · †​ ​ _ À a​ † · †​ ​ _ À b​ † ​ = ​ ​ ​ _ À a​ 2 ​+ ​ ​ _ À b​ 2 ​– (​ ​ _ À b​– ​ ​ _ À a​)​ 2 ​ ___ 2 · †​ ​ _ À a​ † · †​ ​ _ À b​ † ​ = = ​ ​ ​ _ À a​ 2 ​+ ​ ​ _ À b​ 2 ​– [​ ​ _ À b​ 2 ​– 2 · (​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​) + ​ ​ _ À a​ 2 ​] _____ 2 · †​ ​ _ À a​ † · †​ ​ _ À b​ † ​ = ​ ​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​ __ †​ ​ _ À a​ † · †​ ​ _ À b​ † ​ cos φ = ​ ​ ( ​ 5 – 2​ ​ ) ​· ​ ( ​ –1 4 ​ ) ​ ___ ​ † ​ ( ​ 5 – 2​ ​ ) ​ † ​· ​ † ​ ( ​ –1 4​ ​ ) ​ † ​ ​= ​ 5 · (–1) + (– 2) · 4 ___ ​ 9 __ 29​· ​ 9 __ 17​ ​ w φ ≈ 125,8° Wir halten die sich in dieser Aufgabe ergebende Formel fest: Satz Ist φ das Winkelmaß der vom Nullvektor verschiedenen Vektoren ​ ​ _ À a​, ​ ​ _ À b​ * R 2 , dann gilt: cos φ = ​ ​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​ __ †​ ​ _ À a​ † · †​ ​ _ À b​ † ​ AUFgabEN 13 . 02 Stelle die Vektoren ​ ​ _ À a​und ​ ​ _ À b​durch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt dar und berechne das Winkelmaß von ​ ​ _ À a​und ​ ​ _ À b​! Kontrolliere anhand der Zeichnung! a) ​ ​ _ À a​= (4 1 1), ​ ​ _ À b​= (3 1 6) b) ​ ​ _ À a​= (5 1 2), ​ ​ _ À b​= (– 6 1 3) c) ​ ​ _ À a​= (8 1 0), ​ ​ _ À b​= (–1 1 7) 13 . 03 Berechne das Winkelmaß der Vektoren ​ ​ _ À a​und ​ ​ _ À b​! a) ​ ​ _ À a​= (3 1 –1), ​ ​ _ À b​= (5 1 2) c) ​ ​ _ À a​= (9 1 2), ​ ​ _ À b​= (6 1 6) e ) ​ ​ _ À a​= (– 3 1 – 3), ​ ​ _ À b​= (4 1 – 4) b) ​ ​ _ À a​= (– 4 1 3), ​ ​ _ À b​= (8 1 5) d) ​ ​ _ À a​= (0 1 5), ​ ​ _ À b​= (– 2 1 4) f) ​ ​ _ À a​= (– 3 1 – 5), ​ ​ _ À b​= (6 1 – 2) 13 . 04 Berechne die Maße der Winkel im Dreieck ABC! a) A = (–1 1 0), B = (5 1 1), C = (2 1 5) d) A = (– 3 1 1), B = (7 1 2), C = (1 1 3) b) A = (– 3 1 – 2), B = (4 1 – 5), C = (0 1 6) e) A = (– 2 1 1), B = (4 1 – 2), C = (3 1 5) c) A = (–1 1 0), B = (5 1 0), C = (– 5 1 3) f) A = (– 4 1 1), B = (– 2 1 – 5), C = (2 1 7) 13 . 05 Berechne die Maße der Winkel im Dreieck ABC! a) b) c) 13 . 06 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der trigonometrischen Flächeninhaltsformel! a) A = (– 6 1 4), B = (6 1 0), C = (2 1 8) b) A = (0 1 0), B = (4 1 0), C = (2 1 6) 2. A. 1. A. φ b b – a a L kompakt Seite 267 1 2 3 4 5 6 7 0 1 – 1 2 3 4 5 – 2 2. A. A C α c a b B β γ 6 1. A. 2 3 4 5 6 0 1 – 1 – 2 2 3 4 5 – – 1 – 2 3 2. A. 1. A. C α c a B β γ A b 1 2 3 4 0 1 – 1 2 3 4 5 6 – – 2 3 – – 4 5 2. A. 1. A. A C α c a b B β γ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv