Mathematik verstehen 5, Schulbuch

252 12 GERADEN IN R 2 12 . 69 Für welche a * R hat das folgende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, genau eine Lösung bzw. keine Lösung? { x + 2y = 5 4x + 8y = a LösUNg: Wir vergleichen die Normalvektoren: Wegen (4 1 8) = 4 · (1 1 2) sind die beiden Geraden parallel. Ist a = 4 · 5 = 20, so fallen die beiden Geraden zusammen und es gibt unendlich viele Lösungen. Ist a ≠ 20, so sind die beiden Geraden verschieden und es gibt keine Lösung. Der Fall, dass es genau eine Lösung gibt, tritt für kein a * R ein. AUFgAbEN 12 . 70 Deute die Gleichungen des folgenden Gleichungssystems als Geraden! Entscheide – ohne das Gleichungssystem zu lösen – aufgrund der Normalvektoren der Geraden, ob das Gleichungs system genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzt! a) { –1,5x + 2y = –11 6x – 8y = 4 5 b) { 13x – 26y = 1 – 2 6x + 52y = – 2 c) { 8x + 7y = 9 – 4x + 6y = 5 12 . 71 Deute die Gleichungen des folgenden Gleichungssystems als Geraden! Gib mit hilfe der Normal- vektoren Werte für a und b so an, dass das Gleichungssystem 1) genau eine Lösung, 2) keine Lösung, 3) unendlich viele Lösungen besitzt! a) { ax + 3y = 15 9x + 3y = b  b) { ax – 22y = b 7x – 11y = 9 c) { 9x + 2y = – 4 3x + ay = b  12 . 72 Ermittle im folgenden Gleichungssystem die Zahl p * R so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat! Wie viele Lösungen hat es für jeden anderen Wert von p? a) { x + 3y = – 2 2x + p · y = – 4 b) { 5x – 7y = 11 p · x + 14y = –22  c) { p · x – 2y = 8 x + y = – 4 d) { 4x – p · y = 1 –12 x + 9y = – 3 12 . 73 Gib Zahlen a, b * R an, sodass das folgende Gleichungssystem keine Lösung, genau eine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen hat! a) { 5x + y = 3 a · x + b · y = 6  b) { 3 _ 4 x + a · y = b 3 x + 8y = 24 c) { a · x + 2y = b x – 8y = 16  d) { x + y = 1 a · x – b · y = 2  12 . 74 Gegeben ist das Gleichungssystem: { 12x – 14y = 7 ax + by = c Welcher Lösungsfall tritt für die angegebenen Werte von a, b und c ein? Kreuze an! a b c genau eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen – 36 42 28    30 – 35 17,5    24 28 14    12 . 75 Löse das folgende Gleichungssystem! Durch Runden auf eine Nachkommastelle erhält man ein neues Gleichungssystem. Löse auch dieses! Erkläre anhand einer Skizze, warum sich die Lösungen der beiden Gleichungssysteme so stark unterscheiden! a) { 2,34x + 0,58y = 4,10 3,8 7x + 1 ,02 y = 6, 72  b) { 2,66x – 0,98y = 5,60 – 3, 52x + 1,28 y = 7, 38 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv