Mathematik verstehen 5, Schulbuch

251 12 . 3 NORMAlvEktORDARstEllUNg EINER GERADEN IN R 2 ; LösUNgsFällE FÜR l INEARE GlEICHUNgssystEME 12 . 65 Ermittle die gegenseitige Lage und gegebenenfalls den Schnittpunkt der Geraden g und h! a) g: 3x – 2y = 6, h: x + 2y = 10 b) g: 3x – 4y = 9, h: 6x – 8y = 0 c) g: 5x + 2y = 9, h: –10x – 4y = –18 LösUNg: a) Die Normalvektoren _ À n g = (3 1 – 2) und _ À n h = (1 1 2) sind nicht parallel. Somit schneiden g und h einander. Da der Schnittpunkt S auf g und h liegt, müssen seine Koordinaten beide Gleichungen erfüllen: { 3x – 2y = 6 x + 2y = 10 w x = 4, y = 3 w S = (4 1 3) b) Wegen 6 = 2 · 3 und – 8 = 2 · (– 4) sind die Normalvektoren _ À n g = (3 1 – 4) und _ À n h = (6 1 – 8) zu- einander parallel. Da aber 0 ≠ 2 · 9, sind g und h parallel und verschieden. c) Wegen –10 = (–2) · 5 und –4 = (–2) · 2 sind die Normalvektoren _ À n g = (5 1 2) und _ À n h = (–10 1 –4) zueinander parallel. Da auch –18 = (– 2) · 9, sind g und h parallel und zusammenfallend. AUFgAbEN 12 . 66 Ermittle die gegenseitige Lage und gegebenenfalls den Schnittpunkt der Geraden g und h! a) g: 2x – 3y = –17, h: 5x + 2y = 24 c) g: 15x – 25y = – 3, h: –105x + 175y = 21 b) g: – x + 9y = 10, h: 2x – 18y = 17 d) g: 6x – y = 52, h: x + 3y = – 4 12 . 67 Gegeben sind die Geraden: g: X = (2 1 1) + t · (r 1 2) mit r * R h: 2x + sy = 1 mit s * R Welcher der in der Tabelle dargestellten Fälle tritt ein, wenn r und s die angegebenen Werte haben? Kreuze an! 12 . 68 verlaufen die Geraden g, h und m durch einen gemeinsamen Punkt? Wenn ja, gib diesen an! a) g: x – y = –2, h: 5x – y = 10, m: x + 2y = 13 b) g: x – y = 0, h: x + 4 y = 5, m: 5x – 2y = 15 Lösungsfälle für lineare Gleichungssysteme in zwei variablen Wir wissen schon, dass ein aus zwei Gleichungen bestehenden lineares Gleichungssystem in zwei variablen keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben kann. Welcher Lösungsfall eintritt, kann man schnell erkennen, wenn man die Gleichungen als Geraden deutet und die Normalvektoren dieser Geraden betrachtet. Da jede Lösung des Gleichungssystems einem Punkt entspricht, der auf beiden Geraden liegt, folgt aus dem Satz auf Seite 250 unmittelbar: Satz Gegeben sei das Gleichungssystem: { a 1 x + a 2 y = a 0 mit (a 1 1 a 2 ) ≠ (0 1 0) b 1 x + b 2 y = b 0 mit (b 1 1 b 2 ) ≠ (0 1 0) Gilt (b 1 1 b 2 ) = r · (a 1 1 a 2 ) für kein r * R *, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Gilt (b 1 1 b 2 ) = r · (a 1 1 a 2 ) für ein r * R *, dann hat das Gleichungssystem – keine Lösung , wenn b 0 ≠ r · a 0 ist, – unendlich viele Lösungen , wenn auch b 0 = r · a 0 ist. (In diesem Fall ist die Lösungsmenge eine Gerade in R 2 .) Ó Lernapplet 6w6wc8 R r s g ° h = {S} g ° h = { } g ° h = g 1 1    1 –1    –1 –1    3 – 3    – 3 3    R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv