Mathematik verstehen 5, Schulbuch

250 12 GERADEN IN R 2 Gegenseitige Lage und Schnitt von Geraden in Normalvektordarstellung Die gegenseitige Lage zweier Geraden kann man nicht nur anhand von Richtungsvektoren, sondern auch anhand von Normalvektoren ermitteln. Wir betrachten zwei Geraden g und h: g: a 1 x + a 2 y = a 0 mit _ À n g = (a 1 1 a 2 ) ≠ (0 1 0) h: b 1 x + b 2 y = b 0 mit _ À n h = (b 1 1 b 2 ) ≠ (0 1 0) Wir unterscheiden folgende Fälle: 1. Fall: _ À n g û _ À n h . In diesem Fall schneiden die beiden Geraden einander (Abb. 12.1). 2. Fall: _ À n g u _ À n h , dh. _ À n h = r · _ À n g (mit r * R *). In diesem Fall sind g und h zueinander parallel und lassen sich so darstellen: g: a 1 x + a 2 y = a 0 h: r · a 1 x + r · a 2 y = b 0 Ist b 0 ≠ r · a 0 , dann stellen die beiden Gleichungen verschiedene Geraden dar. Somit sind g und h parallel und verschieden (Abb. 12.2). Ist auch b 0 = r · a 0 , dann stellen die beiden Gleichungen dieselbe Gerade dar. Somit sind g und h parallel und zusammenfallend (Abb. 12.3). Abb. 12.1 Abb. 12.2 Abb. 12.3 g und h schneiden g und h sind parallel g und h sind parallel einander und verschieden und zusammenfallend g ° h = {S} g ° h = ¿ g ° h = g = h Wir fassen zusammen: Satz Gegeben sind zwei Geraden: g: a 1 x + a 2 y = a 0 mit _ À n g = (a 1 1 a 2 ) ≠ (0 1 0) h: b 1 x + b 2 y = b 0 mit _ À n h = (b 1 1 b 2 ) ≠ (0 1 0) Ist _ À n g û _ À n h , dann schneiden g und h einander . Ist _ À n g u _ À n h , dh. b 1 = r · a 1 und b 2 = r · a 2 (mit r * R *), dann sind g und h – parallel und verschieden , wenn b 0 ≠ r · a 0 ist, – parallel und zusammenfallend , wenn auch b 0 = r · a 0 ist. R 1. A. 2. A. g n g h n h 1. A. 2. A. n h h n g g 1. A. 2. A. n h n g g =h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv