Mathematik verstehen 5, Schulbuch

248 12 GERADEN IN R 2 Jede Gerade mit dem Normalvektor _ À n= (n 1 1 n 2 ) kann durch eine Gleichung der Form n 1 x + n 2 y = c dargestellt werden. Umgekehrt stellt jede solche Gleichung (sofern n 1 , n 2 nicht beide gleich 0 sind) eine Gerade mit dem Normalvektor _ À n= (n 1 1 n 2 ) dar. Somit lässt sich sagen: Ein Normalvektor kann aus der Gleichung n 1 x + n 2 y = c direkt abgelesen werden: _ À n= (n 1 1 n 2 ) . 12 . 50 a) Ermittle eine Gleichung der Geraden durch den Punkt P = (3 1 1) mit dem Normalvektor n = (1 1 2)! b) Gib einen Normalvektor der Geraden mit der Gleichung 5x – 2y = 7 an! LösUNg: a) 1. Art: _ À n· X = _ À n· P 2. Art: n 1 x + n 2 y = n 1 p 1 + n 2 p 2 ( 1 2  ) · ( x y  ) = ( 1 2  ) · ( 3 1  ) 1 · x + 2 · y = 1 · 3 + 2 · 1 x + 2y = 5 x + 2y = 5 b) Ein Normalvektor kann aus der Gleichung abgelesen werden: _ À n= (5 1 – 2) Parameterdarstellung und Normalvektordarstellung Insgesamt kennen wir nun zwei Darstellungen für Geraden in R 2 : Parameterdarstellung: Normalvektordarstellung (Gleichung): X = P + t · _ À g _ À n· X = _ À n· P bzw. n 1 x + n 2 y = c In den folgenden beiden Aufgaben lernen wir, wie man die beiden Darstellungen ineinander umformen kann. 12 . 51 Gegeben ist die Gerade g: X = (2 1 3) + t · (1 1 4). Gib eine Gleichung der Geraden an! LösUNg: fester Punkt von g: P = (2 1 3) Richtungsvektor von g: _ À g= (1 1 4) w Normalvektor von g: _ À n= (4 1 –1) Gleichung von g: ( 4 –1 ) · ( x y  ) = ( 4 –1 ) · ( 2 3  ) É 4x – y = 5 12 . 52 Gegeben ist die Gerade g: 3x + 2y = 4. Gib eine Parameterdarstellung der Geraden an! 1 . LösUNgsMögl ICHkEI t : Punkt auf g: Für x = 0 ergibt sich aus der Geradengleichung y = 2, also P = (0 1 2). Normalvektor von g: _ À n= (3 1 2) w Richtungsvektor von g: _ À g= (2 1 – 3) Parameterdarstellung von g: X = (0 1 2) + t · (2 1 – 3) 2 . LösUNgsMögl ICHkEI t : Punkt auf g: P = (0 1 2) wie vorhin Explizite Form der Geradengleichung: y = – 3 _ 2 x + 2 w k = – 3 _ 2 Richtungsvektor _ À g= (1 1 k) = 2 1 1 – 3 _ 2 3 u (2 1 – 3) Parameterdarstellung von g: X = (0 1 2) + t · (2 1 – 3) Merke hat eine Gerade die Steigung k , dann ist (1 1 k) ein Richtungsvektor der Geraden. R kompakt Seite 253 1. A. 2. A. 1 g g k Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv