Mathematik verstehen 5, Schulbuch

247 12 . 3 NORMAlvEktORDARstEllUNg EINER GERADEN IN R 2 ; LösUNgsFällE FÜR l INEARE GlEICHUNgssystEME 12 . 3 NORMAlvEktORDARstEllUNg EINER GERADEN IN R 2 ; LösUNgsFällE FÜR lINEARE GlEICHUNgssystEME Beschreibung einer Geraden durch Punkt und Normalvektor 12 . 49 Die Gerade g geht durch den Punkt P = (3 1 1) und verläuft normal zum vektor _ À n= (1 1 2). Zeichne die Gerade! LösUNg: Wir zeichnen zuerst den Punkt P und stellen _ À nals Pfeil von P aus dar. Die Gerade g kann dann normal zu diesem Pfeil durch P gezeichnet werden. Definition Ein vektor _ À n heißt Normalvektor der Geraden g , wenn _ À nzu allen Richtungsvektoren von g normal ist. Wir betrachten eine Gerade g, die durch den Punkt P geht und den vektor _ À n≠ _ À oals Normalvektor hat. Für jeden von P verschiedenen Punkt X * R 2 gilt: X * g É _ À n © _ À PX É _ À n· _ À PX= 0 É _ À n· (X – P) = 0 É _ À n·X = _ À n·P Insgesamt gilt also: X * g É _ À n·X = _ À n·P Diese Äquivalenz gilt aber auch für X = P, da in diesem Fall beide Aussagen wahr sind. BEACHtE : Die Gleichung _ À n·X = _ À n·P wird zwar mit hilfe von vektoren angeschrieben, ist jedoch ei- ne gewöhnliche Gleichung zwischen Zahlen, denn auf beiden Seiten der Gleichung steht jeweils ein Skalarprodukt zweier vektoren, also eine reelle Zahl. Die Gleichung _ À n·X = _ À n·P kann man in Koordinatenform anschreiben, wenn man _ À n= (n 1 1 n 2 ), X = (x 1 y) und P = (p 1 1 p 2 ) setzt. Dann geht die Gleichung _ À n·X = _ À n·P über in: 2 n 1 n 2   3 · 2 x y  3 = 2 n 1 n 2   3 · 2 p 1 p 2   3 n 1 x + n 2 y = n 1 p 1 + n 2 p 2 Setzt man zur Abkürzung noch n 1 p 1 + n 2 p 2 = c, erhält man: n 1 x + n 2 y = c Wir haben somit insgesamt bewiesen: Satz Ist g eine Gerade der Ebene durch den Punkt P = (p 1 1 p 2 ) und _ À n= (n 1 1 n 2 ) ≠ (0 1 0) ein Normalvektor von g, dann gilt für alle X * R 2 : X * g É _ À n·X = _ À n·P bzw. (x 1 y) * g É n 1 x + n 2 y = c mit c = n 1 p 1 + n 2 p 2 Definition Die Gleichung _ À n·X = _ À n·P bzw. n 1 x + n 2 y = c nennt man eine Normalvektordarstellung (oder kurz Gleichung ) der Geraden g durch den Punkt P mit dem Normalvektor _ À n≠ _ À o. R 1. A. 2. A. 1 2 g P 0 3 1 n g P n X g P n X Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv