Mathematik verstehen 5, Schulbuch

246 12 GERADEN IN R 2 Schnitt zweier Geraden 12 . 42 Zeige, dass die Geraden g und h einander schneiden und ermittle den Schnittpunkt S! g: X = (2 1 – 2) + t · (1 1 2), h: X = (–1 1 2) + u · (3 1 1) LösUNg: Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind nicht parallel. Somit schneiden g und h einander. Ein Punkt S liegt genau dann auf g und h, wenn es ein t * R und ein u * R gibt, sodass: ​ ( ​ 2 – 2​ ​ ) ​+ t · ​ ( ​ 1 2 ​ ) ​= ​ ( ​ –1 2 ​ ) ​+ u · ​ ( ​ 3 1 ​ ) ​ ​ { ​ 2 + t = –1 + 3u – 2 + 2 t = 2 + u ​ ​ Löse dieses Gleichungssystem selbst! Es ergibt sich: t = 3 und u = 2. Einsetzen in die Parameter- darstellung von g oder h liefert den gesuchten Schnittpunkt S: S = ​ ( ​ 2 – 2​ ​ ) ​+ 3 · ​ ( ​ 1 2 ​ ) ​= ​ ( ​ 5 4 ​ ) ​ bzw. S = ​ ( ​ –1 2 ​ ) ​+ 2 · ​ ( ​ 3 1 ​ ) ​= ​ ( ​ 5 4 ​ ) ​ BEACHtE : Dem Schnittpunkt S entsprechen im Allgemeinen auf g und h verschiedene Parameter- werte. Aus diesem Grund müssen für die Parameter von g und h unbedingt verschie­ dene Buchstaben gewählt werden! AUFgAbEN 12 . 43 Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h! a) g: X = (1 1 2) + t · (3 1 –1), h: X = (– 5 1 2) + u · (–2 1 5) b) g: X = (3 1 – 4) + t · (1 1 2), h: X = (5 1 0) + u · (4 1 8) c) g: X = (2 1 1) + t · (1 1 –1), h: X = (– 3 1 5) + u · (– 2 1 2) d) g: X = (3 1 0) + t · (2 1 1), h: X = (6 1 7) + u · (–8 1 5) e) g: X = (1 1 – 2) + t · (3 1 – 2), h: X = (7 1 6) + u · (–3 1 2) 12 . 44 Gegeben sind die Geraden a: X = (3 1 4) + s · (–1 1 2) und b: X = (2 1 8) + t · (5 1 – 10). Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Kreuze an!  a = b  a ≠ b  a ° b = {(3 1 4)}  a © b  a u b 12 . 45 Zeige, dass die Geraden g und h einander schneiden und ermittle den Schnittpunkt S! a) g: X = (2 1 –1) + t · (–1 1 1), h: X = (–1 1 2) + u · (1 1 2) b) g: X = (– 2 1 –1) + t · (4 1 3), h: X = (– 8 1 4) + u · (5 1 –1) c) g: X = (2 1 – 6) + t · (1 1 6), h = AB mit A = (4 1 –5), B = (6 1 –12) d) g: X = (7 1 0) + t · (3 1 2), h = CD mit C = (–2 1 – 3), D = (22 1 7) 12 . 46 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B, die Gerade h verläuft durch die Punkte C und D. Ermittle durch Zeichnung und Rechnung den Schnittpunkt von g und h! a) g: A = (– 2 1 0), B = (2 1 – 4), h: C = (– 6 1 1), D = (0 1 4) b) g: A = (–1 1 – 3), B = (11 1 –1), h: C = (9 1 –1), D = (1 1 – 3) 12 . 47 Die Geraden g 1 , g 2 , g 3 bilden ein Dreieck. Berechne die Eckpunkte dieses Dreiecks! a) g 1 : X = (2 1 3) + t · (1 1 1), g 2 : X = (5 1 6) + u · (–1 1 1), g 3 : X = (4 1 11) + v · (–1 1 – 3) b) g 1 : X = (13 1 5) + t · (9 1 4), g 2 : X = (11 1 – 3) + u · (–7 1 4), g 3 : X = (–1 1 13) + v · (–1 1 – 4) 12 . 48 Berechne den Schnittpunkt der Diagonalen des vierecks ABCD! a) A = (–3 1 1), B = (5 1 –1), C = (6 1 4), D = (–10 1 8) b) A = (2 1 –6), B = (7 1 –2), C = (6 1 2), D = (1 1 –5) R kompakt Seite 253 R Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv