Mathematik verstehen 5, Schulbuch

245 12 . 2 GEgENsEI t IgE LAgE UND SCHNI tt vON GERADEN IN R 2 12 . 37 g 1 : X = (– 3 1 0) + s · (1 1 1) g 3 : X = (0 1 –1) + u · (–1 1 1) g 5 : X = (9 1 –1) + u · (5 1 5) g 2 : X = (– 4 1 –1) + t · (2 1 3) g 4 : X = (7 1 2) + v · (– 0,5 1 – 0,5) g 6 : X = (1 1 0) + v · (1,5 1 –1) Setze das Zeichen „ u “ oder „ © “ ein! Überprüfe durch eine Zeichnung! g 1 ___ g 3 g 3 ___ g 4 g 1 ___ g 4 g 3 ___ g 5 g 2 ___ g 6 g 1 ___ g 5 12 . 38 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden h an, die zur Geraden g parallel ist und durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft! a) g: X = (7 1 – 8) + t · (3 1 2) c) g: X = (2 1 5) + t · (– 4 1 –7) b) g: X = (2 1 0) + t · (0 1 2) d) g: X = (2 1 11) + t · (10 1 – 20) 12 . 39 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden an, die durch den Punkt R geht und 1) zur Geraden g parallel ist, 2) auf g normal steht! Untersuche dann, ob der Punkt S auf dieser Geraden liegt! a) g: X = (3 1 3) + t · (4 1 –1), R = (7 1 4), S = (–1 1 6) b) g: X = (–1 1 2) + t · (3 1 5), R = (6 1 2), S = (15 1 17) c) g = PQ mit P = (– 4 1 1), Q = (2 1 5), R = (3 1 – 4), S = (9 1 –1) d) g = PQ mit P = (– 2 1 3), Q = (3 1 1), R = (4 1 7), S = (9 1 5) 12 . 40 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden h an, die auf g normal steht und durch A verläuft, sowie eine Parameterdarstellung der Geraden k, die auf h normal steht und durch B verläuft! g: X = (2 1 3) + t · (1 1 –1), A = (4 1 3), B = (– 4 1 0) Gegenseitige Lage zweier Geraden Zwei Geraden in R 2 können folgende gegenseitigen Lagen einnehmen: g und h schneiden g und h sind parallel g und h sind parallel einander und verschieden und zusammenfallend g ° h = {S} g ° h = ¿ g ° h = g = h 12 . 41 Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h! a) g: X = (2 1 – 2) + t · (1 1 2), h: X = (–1 1 2) + u · (3 1 1) b) g: X = (2 1 – 3) + t · (2 1 – 4), h: X = (1 1 1) + u · (4 1 – 8) c) g: X = (1 1 3) + t · (3 1 2), h: X = (– 2 1 1) + u · (6 1 4) LösUNg: a) Da die Richtungsvektoren _ À g= (1 1 2) und _ À h= (3 1 1) nicht zueinander parallel sind, schneiden g und h einander. b) Da (4 1 – 8) = 2 · (2 1 – 4) ist, sind die Richtungsvektoren von g und h zueinander parallel. Somit sind g und h zueinander parallel. Zur Überprüfung, ob g und h zusammenfallend oder verschieden sind, betrachten wir die Punkte P = (2 1 – 3) * g und Q = (1 1 1) * h. Wegen _ À PQ= (–1 1 4) û _ À gsind g und h verschieden. c) Da (6 1 4) = 2 · (3 1 2) ist, sind die Richtungsvektoren von g und h zueinander parallel. Somit sind g und h zueinander parallel. Zur Überprüfung, ob g und h zusammenfallend oder verschieden sind, betrachten wir die Punkte R = (1 1 3) * g und S = (–2 1 1) * h. Wegen _ À RS= (– 3 1 – 2) u _ À gfallen g und h zusammen. R g h S g h g = h g h g h P Q Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv