Mathematik verstehen 5, Schulbuch

242 12 GERADEN IN R 2 Geraden in besonderen Lagen AUFgAbEN 12 .18 Die Gerade g verläuft durch O = (0 1 0) und den Punkt a) A = (– 4 1 3), b) C = (2 1 2), c) S = ( 3 _ 2 1 15 _ 2 ) . Gib eine Parameterdarstellung von g an! 12 .19 Gib eine Parameterdarstellung a) der 1. Achse, b) der 2. Achse, c) der 1. Mediane an! 12 . 20 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden g durch P = (1 1 2) an, die a) parallel zur 1. Achse, b) parallel zur 2. Achse ist! verschiedene Parameterdarstellungen derselben Geraden 12 . 21 Die Punkte A = (1 1 2), B = (5 1 8) und der Mittelpunkt M = (3 1 5) der Strecke AB liegen auf einer Geraden g. 1) Welche der folgenden vektorgleichungen sind eine Parameterdarstellung von g? (1) X = A + t · _ À AB (2) X = B + t · _ À BA (3) X = A + t · _ À AM 2) Ermittle die Parameterwerte der Punkte A, M und B in diesen drei Parameterdarstellungen! LösUNg: 1) Es sind alle drei, denn für eine Parameterdarstellung von g darf man einen beliebigen (festen) Punkt auf g und einen beliebigen Richtungsvektor von g wählen. 2) Aus der Zeichnung kann man folgende Parameterwerte ablesen: Für X = A + t · _ À AB: A: t = 0; M: t = 1 _ 2 ; B: t = 1 Für X = B + t · _ À BA: A: t = 1; M: t = 1 _ 2 ; B: t = 0 Für X = A + t · _ À AM: A: t = 0; M: t = 1; B: t = 2 Anhand der letzten Aufgabe erkennt man: Ein und dieselbe Gerade kann verschiedene Parameterdarstellungen haben. Der Parameterwert eines Punktes auf der Geraden hängt von der gewählten Parameterdarstellung ab. 12 . 22 Gegeben ist die Gerade mit der Parameterdarstellung X = (4 1 2) + t · (6 1 4). a) Wir halbieren die Koordinaten des Richtungsvektors: X = (4 1 2) + t · (3 1 2). Stellt diese Parameterdarstellung noch dieselbe Gerade dar? b) Wir halbieren die Koordinaten des festen Punktes: X = (2 1 1) + t · (6 1 4). Stellt diese Parameterdarstellung noch dieselbe Gerade dar? LösUNg: a) Ja, denn man darf anstelle des Richtungsvektors (6 1 4) den halb so langen Richtungsvektor (3 1 2) nehmen. b) Nein, denn der Punkt (2 1 1) liegt nicht mehr auf der Geraden (siehe nebenstehende Abbildung). Man darf eine Parameterdarstellung X = P + t · _ À geiner Geraden vereinfachen, indem man ein geeignetes vielfaches des Richtungsvektors _ À gnimmt. Mit dem festen Punkt P darf man dies im Allgemeinen nicht machen. R R R 0 1 1 2. A. 1. A. B M A 0 2 4 1 2 1. A. 2. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv