Mathematik verstehen 5, Schulbuch

241 12 .1 PARAMEtERDARstEllUNg EINER GERADEN IN R 2 Ermitteln unbekannter Koordinaten 12 .12 Gegeben ist die Gerade g: X = (1 1 1) + t · (2 1 –1). Ermittle die unbekannte Koordinate des Punktes A = (–1 1 a 2 ) auf g! LösUNg: Da A auf g liegt, gibt es ein t * R , sodass A = (1 1 1) + t · (2 1 –1). ( –1 a 2   ) = ( 1 1  ) + t · ( 2 –1 ) É { –1 = 1 + 2t a 2 = 1 – t  É t = –1, a 2 = 2. Also ist A = (–1 1 2). AUFgAbEN 12 .13 Gegeben ist die Gerade g: X = (2 1 1) + t · (5 1 –1). Ermittle die unbekannten Koordinaten der angegebenen Punkte auf g! a) A = (7 1 a 2 ), B = (b 1 1 –1) c) U = (u 1 1 – 2), v = (v 1 1 3) e) Y = (y 1 1 17), Z = (z 1 1 – 4) b) Q = (q 1 1 2), R = (22 1 r 2 ) d) S = (–18 1 s 2 ), T = (22 1 t 2 ) f) S = (s 1 1 1), T = (– 8 1 t 2 ) 12 .14 Die Gerade g verläuft durch die Punkte P, Q und R. Ermittle die unbekannte Koordinate von R! a) P = (1 1 1), Q = (2 1 – 3), R = (2 1 r 2 ) c) P = (7 1 7), Q = (2 1 4), R = (– 8 1 r 2 ) b) P = (4 1 0), Q = (– 6 1 –1), R = (r 1 1 – 2) d) P = (0 1 –1,5), Q = (1,5 1 2,5), R = (r 1 1 – 9,5) Deutung des Parameters als Zeit 12 .15 Ein punktförmiger Körper bewegt sich längs der Geraden g: X = P + t · _ À gmit P = (1 1 1) und _ À g= (2 1 1). Er befindet sich zu Beginn im Punkt P und bewegt sich pro Sekunde um _ À gweiter. In welchem Punkt X befindet sich der Körper nach 2, 3, 4 und nach t Sekunden? LösUNg: Der Körper befindet sich nach 2 s im Punkt X = (1 1 1) + 2 · (2 1 1) = (5 1 3), nach 3 s im Punkt X = (1 1 1) + 3 · (2 1 1) = (7 1 4), nach 4 s im Punkt X = (1 1 1) + 4 · (2 1 1) = (9 1 5), nach t s im Punkt X = (1 1 1) + t · (2 1 1) = (1 + 2t 1 1 + t). AUFgAbEN 12 .16 Ein punktförmiger Körper bewegt sich gleichförmig auf einer geraden Bahn. Er befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 im Punkt A = (100 1 100) und zum Zeitpunkt t = 1 im Punkt B = (250 1 300) (Zeit in Sekunden). a) Ermittle rechnerisch, wo sich der Körper nach 0,1 s, 0,5 s, 2 s und nach t Sekunden befindet! b) Ermittle rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt sich der Körper im Punkt P = (400 1 p 2 ) bzw. im Punkt Q = (550 1 q 2 ) befindet! c) Zeige rechnerisch, dass sich der Körper nicht durch den Punkt R = (325 1 450) bewegt! 12 .17 Zwei Flugzeuge fliegen geradlinig in derselben konstanten Flughöhe und befinden sich zum gleichen Zeitpunkt über den Punkten (100 1 320) bzw. (4000 1 320). Eine Stunde später befinden sie sich über den Punkten (800 1 920) bzw. (3500 1 820) (Koordinaten in Kilometer). 1) Zeige, dass die beiden Flugbahnen einander über dem Punkt S = (2200 1 2120) kreuzen! 2) Besteht die Gefahr eines Zusammenstoßes (dh. befinden sich die Flugzeuge zur selben Zeit im Punkt S)? R R R 0 1 1 2. A. 1. A. g P nach 4 s nach 3 s nach 2 s R Ó Applet 8py4m8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv