Mathematik verstehen 5, Schulbuch

240 12 GERADEN IN R 2 Beschreibung von Strecken 12 . 06 Beschreibe a) eine Strecke AB, b) die erste hälfte der Strecke AB als Punktmenge! LösUNg: a) AB = {X * R 2 ‡ X = A + t · _ À AB ? 0 ª t ª 1} = = {X * R 2 ‡ X = A + t · _ À AB ? t * [0 ; 1]} b) { X * R 2 ‡ X = A + t · _ À AB ? 0 ª t ª 1 _ 2 } AUFgAbEN 12 . 07 Beschreibe a) das letzte viertel, b) das mittlere Drittel einer Strecke AB als Punktmenge! 12 . 08 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = (1 1 1), B = (7 1 3) und C = (5 1 9). Berechne die Mittelpunkte M 1 , M 2 , M 3 der Seiten AB, BC, CA und gib Parameterdarstellungen der Schwerlinien (Strecken) CM 1 , AM 2 , BM 3 an! Liegen vorgegebene Punkte auf einer vorgegebenen Geraden? 12 . 09 Gegeben ist die Gerade g: X = P + t · _ À gmit P = (1 1 –1) und _ À g= (2 1 1). Liegt der Punkt a) A = (5 1 1), b) A = (3 1 –1) auf dieser Geraden? Rechne und überprüfe durch eine Zeichnung! 1 . LösUNgsMögl ICHkEI t : Ein Punkt A ≠ P liegt genau dann auf der Geraden g, wenn der Vektor _ À AP zum Richtungsvektor _ À gder Geraden parallel ist. a) _ À AP= (– 4 1 – 2) u (2 1 1) w A * g b) _ À AP= (– 2 1 0) û (2 1 1) w A + g 2 . LösUNgsMögl ICHkEI t : Ein Punkt A liegt genau dann auf der Geraden g, wenn es ein t * R gibt, sodass A = P + t · _ À g. a) A = P + t · _ À g É ( 5 1  ) = ( 1 –1 ) + t · ( 2 1  ) É { 5 = 1 + 2 · t 1 = –1 + t  É t = 2. Somit ist A * g. b) A = P + t · _ À g É ( 3 –1 ) = ( 1 –1 ) + t · ( 2 1  ) É { 3 = 1 + 2 · t –1 = – 1 + t  Aus der ersten Gleichung ergibt sich t = 1. Dieser Wert erfüllt aber die zweite Gleichung nicht. Somit gibt es kein t * R mit A = P + t · _ À g. Daher ist A + g. Führe die zeichnerischen Überprüfungen in a) und b) selbst durch! AUFgAbEN 12 .10 Liegt der gegebene Punkt auf der Geraden g? a) A = (– 5 1 – 4), g: X = (3 1 0) + t · (2 1 –1) d) W = 2 – 13 _ 2 1 – 7 _ 2 3 , g: X = (11 1 – 6) + t · (–7 1 1) b) Q = (8 1 2), g: X = (5 1 –1) + t · (1 1 1) e) T = 2 – 3 _ 2 1 1 _ 2 3 , g: X = 2 1 _ 2 1 3 _ 2 3 + t · 2 –1 1 – 1 _ 2 3 c) S = (17 1 7), g: X = (3 1 0) + t · (2 1 –1) f) P = (4 1 20), g: X = (13 1 21) + t · (–3 1 0) 12 .11 A = (9 1 11), B = (15 1 13). Liegt der Punkt P = (18 1 14) a) auf der Geraden durch die Punkte A und B, b) auf der Strecke AB? R Ó Lernapplet d23yz4 B A t = 0 t = 1 B A t = 0 t = 1 t = 1 2 R R g A P g g A P g R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv