Mathematik verstehen 5, Schulbuch

239 12 .1 PARAMEtERDARstEllUNg EINER GERADEN IN R 2 Allgemein gilt: Satz Ist g eine Gerade der Ebene, P ein Punkt auf g und _ À gein Richtungsvektor von g, dann gilt für alle X * R 2 : X * g É X = P + t · _ À g für ein t * R Definition Die vektorgleichung X = P + t · _ À g nennt man eine Parameterdarstellung der Geraden g mit dem Parameter t [Betonung: Parámeter]. Merke Jedem Parameterwert t * R entspricht genau ein Punkt auf der Geraden g. Umgekehrt entspricht jedem Punkt auf der Geraden g genau ein Parameterwert t * R . BEACHtE : P ist ein fester Punkt auf der Geraden und X ein Punkt auf der Geraden, dessen Lage vom Parameterwert t abhängt. Man bezeichnet X auch als „laufenden Punkt“ der Geraden. Wenn t ganz R durchläuft, durchläuft X die ganze Gerade. Eine Gerade in der Ebene kann durch folgende Punktmenge beschrieben werden: Gerade in ℝ 2 : g = {X * ℝ 2 ‡ X = P + t · _ À g ? t * ℝ } Die Gerade durch die Punkte P und Q bezeichnen wir mit PQ. AUFgAbEN 12 . 02 Zeichne die Gerade mit der folgenden Parameterdarstellung und gib zwei Punkte auf dieser Geraden an! a) X = (– 3 1 1) + t · (3 1 2) c) X = (1 1 1) + t · (3 1 –1) e) X = (3 1 0) + t · (–1 1 1) b) X = (2 1 1) + t · (2 1 4) d) X = (– 3 1 3) + t · (4 1 – 2) f) X = (0 1 4) + t · (2 1 –1) 12 . 03 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden durch die beiden gegebenen Punkte an! a) A = (3 1 0), B = (5 1 – 4) c) U = (– 8 1 3), v = (7 1 7) e) Q = (11 1 1), R = (12 1 1) b) E = (2 1 2), F = (4 1 15) d) K = (6 1 – 2), L = (13 1 –12) f) Y = (2,5 1 4,5), Z = (1 1 – 5,5) 12 . 04 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden durch die beiden gegebenen Punkte an und ermittle die Punkte auf dieser Geraden mit den Parameterwerten 0, 2, 5, 15 _ 2 , –1, – 3 _ 4 , 9 _ 2! a) A = (2 1 8), B = (6 1 4) c) M = (5 1 –1), N = (1 1 –1) e) C = (6 1 1), D = (6 1 8) b) U = (– 4 1 1), v = (4 1 5) d) T = (10 1 11), U = (0 1 9) f) G = (8 1 6,5), h = (4,5 1 9) 12 . 05 Gegeben ist die Gerade g: X = P + t · _ À PQ. Ermittle anhand der Abbildung die Parameterwerte der Punkte R, S, T auf g! a) b) c) Ó Applet t9bd27 g P X g R Ó Lernapplet c7tj7y P Q R S T S P Q R T P S R Q T Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv