Mathematik verstehen 5, Schulbuch

231 11 . 6 PaRallElE UND NORmalE vEktOREN Allgemein gilt der folgende Satz, dessen Beweis wir im Abschnitt 13.1 führen werden. Satz (Orthogonalitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren _ À a, _ À b * R 2 sind genau dann zueinander normal , wenn _ À a· _ À b= 0 ist. BEmERkUNg: Will man die Orthogonalität der Vektoren _ À aund _ À bunabhängig von der Geometrie definieren, kann man das Orthogonalitätskriterium als Definition verwenden. Satz Ist (a 1 1 a 2 ) ein Vektor aus R 2 , dann sind (– a 2 1 a 1 ) und (a 2 1 – a 1 ) Normalvektoren dieses Vektors mit gleichem Betrag. BEWEIs : ( a 1 a 2   ) · ( – a 2 a 1   ) = a 1 · (– a 2 ) + a 2 · a 1 = 0, ( a 1 a 2   ) · ( a 2 – a 1   ) = a 1 · a 2 + a 2 · (– a 1 ) = 0 † ( – a 2 a 1   ) † = 9 ______ (–a 2 ) 2 + a 1 2 = 9 _____ a 1 2 + a 2 2 , † ( a 2 –a 1   ) † = 9 ______ a 2 2 + (– a 1 2 )= 9 _____ a 1 2 + a 2 2  BEacHtE : Neben (– a 2 1 a 1 ) und (a 2 1 – a 1 ) sind auch alle positiven oder negativen Vielfachen dieser Vektoren Normalvektoren von (a 1 1 a 2 ). AUFgabEN 11 . 75 Gib zwei Normalvektoren zum Vektor _ À aan! Überprüfe jeweils durch eine Zeichnung! a) _ À a= (1 1 4) c) _ À a= (0 1 7) e) _ À a= (2 1 – 3) g) _ À a= (5 1 2) b) _ À a= (–7 1 3) d) _ À a= (– 6 1 – 6) f) _ À a= (5 1 – 5) h) _ À a= (6 1 –1) 11 . 76 Gib vier verschiedene Normalvektoren zum Vektor _ À aan! Beachte dabei: Ist _ À bein Normalvektor zu _ À a, dann ist auch jedes Vielfache r · _ À bmit r ≠ 0 ein Normalvektor von _ À a. a) _ À a= (2 1 5) b) _ À a= (– 4 1 – 4) c) _ À a= (12 1 – 3) d) _ À a= (1,8 1 3,2) 11 . 77 Überprüfe mit Hilfe des skalaren Produkts, ob _ À azu _ À bnormal ist! a) _ À a= (4 1 6), _ À b= (–12 1 8) c) _ À a= (8 1 8), _ À b= (– 8 1 8) e) _ À a= (4,5 1 3), _ À b= (– 4 1 3,5) b) _ À a= (3 1 4), _ À b= (– 2 1 – 3) d) _ À a= (3,2 1 – 2,1), _ À b= (– 9,6 1 6,3) f) _ À a= (6 1 0), _ À b= (0 1 6) 11 . 78 Was trifft auf die Vektoren _ À aund _ À bzu? Kreuze an! _ À a u _ À b _ À a © _ À b weder _ À a u _ À bnoch _ À a © _ À b _ À a= (– 3 1 7), _ À b= (9 1 – 21)    _ À a= (4 1 – 9), _ À b= (18 1 8)    _ À a= (7 1 –11), _ À b= (–10,5 1 16,5)    _ À a= (– 5 1 – 6), _ À b= (–10 1 12)    _ À a= (– 2 1 1,5), _ À b= (15 1 20)    11 . 79 Überprüfe durch Rechnung, ob das Viereck ABCD ein Rechteck ist! Kontrolliere an einer Zeichnung! a) A = (1 1 1), B = (5 1 4), C = (4 1 7), D = (0 1 4) d) A = (–6 1 4), B = (1 1 –5), C = (5 1 1), D = (–2 1 10) b) A = (–3 1 –3), B = (2 1 –2), C = (1 1 6), D = (–4 1 5) e) A = (–3 1 –3), B = (6 1 –2), C = (5 1 2), D = (–4 1 1) c) A = (–4 1 0), B = (0 1 –4), C = (8 1 4), D = (4 1 8) f) A = (–1 1 –1), B = (1 1 –1), C = (1 1 9), D = (–1 1 9) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv