Mathematik verstehen 5, Schulbuch

230 11 GEOmEtRIscHE DaRstEllUNg vON vEktOREN UND DEREN REcHENOpERat IONEN 11 . 72 Untersuche, ob die Vektoren _ À a= 2 1 _ 2 1 – 3 _ 4 3 und _ À b= 2 2 _ 9 1 – 1 _ 3 3 zueinander parallel sind! LösUNg: Man kann nicht sofort erkennen, ob _ À bein Vielfaches von _ À aist. Wir setzen daher an: _ À b= r · _ À a É 2 2 _ 9 – 1 _ 3 3 = r · 2 1 _ 2 – 3 _ 4 3 É { 2 _ 9 = r · 1 _ 2 – 1 _ 3 = r · 2 – 3 _ 4 3 É r = 4 _ 9 . Also ist _ À b= 4 _ 9 · _ À a, dh. _ À a u _ À b. 11 . 73 Untersuche, ob die Vektoren _ À aund _ À bzueinander parallel sind! a) _ À a= 2 1 _ 2 1 1 _ 5 3 , _ À b= 2 3 _ 10 1 2 _ 25 3 b) _ À a= 2 – 1 _ 3 1 5 _ 6 3 , _ À b= 2 – 1 _ 5 1 1 _ 2 3 c) _ À a= 2 2 1 1 _ 3 3 , _ À b= 2 5 _ 3 1 2 _ 9 3 Normale vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene vektoren _ À a und _ À b in R 2 nennen wir zueinander normal bzw. zueinander orthogonal , wenn die zugehörigen Pfeile zueinander normal sind. Wir schreiben kurz: _ À a © _ À b Wir sagen in diesem Fall auch, dass jeder der beiden Vektoren ein Normalvektor des anderen ist. 11 . 74 Stelle die Vektoren _ À a, _ À n 1 und _ À n 2 durch Pfeile von O aus dar und berechne die Skalarprodukte _ À a· _ À n 1 und _ À a· _ À n 2 ! Was fällt auf? a) _ À a= (3 1 2), _ À n 1 = (– 2 1 3), _ À n 2 = (2 1 – 3) b) _ À a= (a 1 1 a 2 ), _ À n 1 = (– a 2 1 a 1 ), _ À n 2 = (a 2 1 – a 1 ) LösUNg: a) b) _ À a· _ À n 1 = (3 1 2) · (– 2 1 3) = 3· (– 2) + 2·3 = 0 _ À a· _ À n 1 = (a 1 1 a 2 ) · (– a 2 1 a 1 ) = a 1 · (– a 2 ) + a 2 · a 1 = 0 _ À a· _ À n 2 = (3 1 2) · (2 1 – 3) = 3·2 + 2· (– 3) = 0 _ À a· _ À n 2 = (a 1 1 a 2 ) · (a 2 1 – a 1 ) = a 1 · a 2 + a 2 · (– a 1 ) = 0 _ À a © _ À n 1 , _ À a © _ À n 2 und _ À a· _ À n 1 = _ À a· _ À n 2 = 0 _ À a © _ À n 1 , _ À a © _ À n 2 und _ À a· _ À n 1 = _ À a· _ À n 2 = 0 Aus den Abbildungen in Aufgabe 11.74 kann man erkennen: Der Übergang von _ À a= (a 1 1 a 2 ) zu _ À n 1 = (– a 2 1 a 1 ) entspricht einer Drehung des zu _ À agehörigen Pfeils um 90° entgegen dem Uhrzeigersinn („Linkskippung“). _ À n 2 = (a 2 1 – a 1 ) entspricht einer Drehung des zu _ À agehörigen Pfeils um 90° im Uhrzeigersinn („Rechtskippung“). R a b kompakt Seite 232 Ó Lernapplet ch6k75 1. A. 2. A. 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 0 a n 1 n 2 1. A. 2. A. a 2 a 1 – a 2 a 2 a 1 – a 1 a n 1 n 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv