Mathematik verstehen 5, Schulbuch

229 11 . 6 PaRallElE UND NORmalE vEktOREN 11 . 6 PaRallElE UND NORmalE vEktOREN Parallele vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren _ À a und _ À b aus R 2 nennen wir zueinander parallel , wenn die zugehörigen Pfeile parallel sind. Wir schreiben kurz: _ À a u _ À b Stellt man die Vektoren _ À aund _ À bdurch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus dar, so erkennt man unmittelbar: Die Pfeile sind genau dann parallel, wenn sie durch Streckung mit einem Faktor r * R * auseinander hervorgehen, dh. wenn _ À b= r · _ À agilt. Satz (Parallelitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren _ À a und _ À b in R 2 sind genau dann zueinander parallel , wenn _ À b= r · _ À a mit r * R * gilt. Merke Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren aus R 2 sind genau dann parallel, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist. BEmERkUNg: Will man die Parallelität der Vektoren _ À aund _ À bunabhängig von der Geometrie definieren, kann man das Parallelitätskriterium als Definition verwenden. AUFgabEN 11 . 66 Gib drei verschiedene Vektoren an, die zum Vektor _ À aparallel sind! a) _ À a= (3 1 5) c) _ À a= (– 4 1 – 4) e) _ À a= (2 1 – 8) g) _ À a= (– 5 1 2) b) _ À a= (– 6 1 3) d) _ À a= (7 1 0) f) _ À a= (5 1 – 5) h) _ À a= (6,5 1 –1,5) 11 . 67 Prüfe durch Zeichnung und Rechnung, ob die Vektoren _ À aund _ À bparallel sind! a) _ À a= (2 1 1), _ À b= (6 1 3) c) _ À a= (3 1 3), _ À b= (– 3 1 3) e) _ À a= (0 1 7), _ À b= (7 1 0) b) _ À a= (– 3 1 4), _ À b= (– 6 1 3) d) _ À a= (3 1 3), _ À b= (– 4 1 – 4) f) _ À a= (3 1 6), _ À b= (2 1 4) 11 . 68 Die Vektoren _ À aund _ À bsind parallel. Ermittle die unbekannten Koordinaten! a) _ À a= (2 1 a 2 ), _ À b= (6 1 3) c) _ À a= (– 5 1 – 3), _ À b= (10 1 b 2 ) e) _ À a= (a 1 1 3), _ À b= (5 1 – 6) b) _ À a= (a 1 1 4), _ À b= (– 6 1 3) d) _ À a= (– 4 1 – 2), _ À b= (b 1 1 2) f) _ À a= (3 1 a 2 ), _ À b= (– 4 1 – 4) 11 . 69 Untersuche durch Zeichnung und Rechnung, ob die Punkte A, B, C auf einer Geraden liegen! BEacHtE : Die Punkte A, B und C liegen genau dann auf einer Geraden, wenn _ À AB u _ À ACist. a) A = (– 3 1 5), B = (1 1 1), C = (3 1 0) c) A = (–1 1 – 5), B = (3 1 3), C = (6 1 9) b) A = (– 6 1 7), B = (– 2 1 3), C = (1 1 0) d) A = (– 3 1 – 3), B = (1 1 1), C = (4 1 6) 11 . 70 Untersuche durch Zeichnung und Rechnung, ob das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist! a) A = (2 1 1), B = (7 1 3), C = (8 1 7), D = (3 1 5) c) A = (–1 1 – 3), B = (5 1 1), C = (8 1 5), D = (2 1 1) b) A = (–1 1 1), B = (5 1 0), C = (9 1 3), D = (3 1 4) d) A = (–1 1 –3), B = (6 1 0), C = (0 1 5), D = (–2 1 1) 11 . 71 Untersuche durch Zeichnung und Rechnung, ob das Viereck ABCD ein Trapez ist! a) A = (1 1 1), B = (7 1 3), C = (5 1 6), D = (2 1 5) c) A = (–4 1 –4), B = (6 1 –1), C = (4 1 2), D = (–3 1 5) b) A = (–3 1 –3), B = (8 1 –3), C = (6 1 6), D = (–2 1 3) d) A = (–2 1 2), B = (6 1 0), C = (8 1 6), D = (–1 1 5) R a b u u R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv