Mathematik verstehen 5, Schulbuch

227 11 . 5 BEtRag EINEs vEktORs 11 . 5 BEtRag EINEs vEktORs Länge eines Pfeils Bei der Pfeildarstellung eines Vektors ist oft die Länge des Pfeils von Interesse. Nebenstehend sind ein Geschwindigkeits- und ein Kraftvektor dargestellt. Die Pfeillänge gibt den Betrag der Geschwindigkeit bzw. Kraft an. 11 . 55 Stelle den Vektor 1) (4 1 3), 2) (a 1 1 a 2 ) als Pfeil dar und berechne dessen Länge mit dem pythago- räischen Lehrsatz! LösUNg: 1) Länge des Pfeils = 9 ____ 4 2 + 3 2 = 5 2) Länge des Pfeils = 9 _______ † a 1 † 2 + † a 2 † 2 = 9 _____ a 1 2 + a 2 2 Überlege, dass dies auch für a 1 = 0 oder a 2 = 0 gilt! Definition Unter dem Betrag des vektors _ À a= (a 1 1 a 2 ) * ℝ 2 versteht man die reelle Zahl † _ À a † = 9 ____ a 1 2 + a 2 2 . Merke Dem Betrag eines Vektors entspricht geometrisch die Länge eines dem Vektor zugeordneten Pfeils. Satz (Rechengesetze für den Betrag) (1) Für alle _ À a * R 2 und alle r * R gilt: † r · _ À a † = † r † · † _ À a † (2) Für alle _ À a * R 2 gilt: † _ À a † 2 = _ À a 2 BEWEIs : Wir setzen _ À a= (a 1 1 a 2 ). (1) † r · _ À a † = † (r · a 1 1 r · a 2 ) † = 9 _________ (r · a 1 ) 2 + (r · a 2 ) 2 = 9 ________ r 2 · a 1 2 + r 2 · a 2 2 = 9 _ r 2 · 9 _____ a 1 2 + a 2 2 = † r † · † _ À a † (2) Für _ À a= (a 1 1 a 2 ) gilt: † a † 2 = 9 _____ a 1 2 + a 2 2 2 = a 1 2 + a 2 2 = (a 1 1 a 2 ) · (a 1 1 a 2 ) = _ À a· _ À a= _ À a 2  Merke Das Quadrat des Betrags eines Vektors ist gleich dem Quadrat des Vektors. R 100 N 150 m/s 2. A. 1. A. 3 4 a 2. A. 1. A. |a 1 | |a 2 | a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv