Mathematik verstehen 5, Schulbuch

226 11 GEOmEtRIscHE DaRstEllUNg vON vEktOREN UND DEREN REcHENOpERat IONEN 11 . 44 Der Punkt T auf der Strecke AB teilt die Strecke im Verhältnis a) 2 : 3, b) 3 : 4, c) 4 : 5. Drücke T durch A und B aus! 11 . 45 Der Punkt C auf der Strecke AB teilt die Strecke im Verhältnis 2 : 1. Berechne A! a) B = (– 2 1 3), C = (0 1 4) c) B = (2 1 –1), C = (– 3 1 –1) b) B = (2 1 2), C = (4 1 –7) d) B = (0 1 – 2), C = (1 1 1) 11 . 46 Der Punkt C auf der Strecke AB teilt die Strecke im Verhältnis 3 : 2. Berechne B! a) A = (8 1 – 3), C = (20 1 15) c) A = (6 1 2), C = (6 1 8) b) A = (11 1 11), C = (35 1 –10) d) A = (0 1 0), C = (1 1 1) vektorielle Beweise 11 . 47 Zeige: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander. LösUNg: Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei M 1 der Mittelpunkt der Diagonale AC und M 2 der Mittelpunkt der Diagonale BD. Wir zeigen, dass die beiden Mittelpunkte zusammenfallen. Es gilt: M 1 = ​ 1 _ 2 ​(A + C) M 2 = ​ 1 _ 2 ​(B + D) Um M 1 = M 2 zu zeigen, müssen wir also nachweisen, dass A + C = B + D ist. Dies ist aber der Fall. Denn in dem Parallelogramm ABCD gilt ​ ​ _ À DC​= ​ ​ _ À AB​, also C – D = B – A und somit A + C = B + D. AUFgabEN 11 . 48 Zeige: Ist S der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC, so gilt: ​ ​ _ À SA​+ ​ ​ _ À SB​+ ​ ​ _ À SC​= ​ ​ _ À o​. 11 . 49 P, Q, R sind die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks ABC. Zeige, dass die Dreiecke ABC und PQR denselben Schwerpunkt haben! 11 . 50 Die Punkte P, Q, R teilen die Dreiecksseiten AB, BC, CA jeweils im Verhältnis a) 3 : 1, b) k : 1. Zeige, dass die Dreiecke ABC und PQR denselben Schwerpunkt haben! 11 . 51 Zeige: Die Mittelpunkte P, Q, R, S der Seiten eines Vierecks ABCD sind die Eckpunkte eines Parallelogramms. 11 . 52 Zeige: Ist ABCD ein Viereck und sind M 1 , M 2 , M 3 , M 4 die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD, DA, dann gilt: A + B + C + D = M 1 + M 2 + M 3 + M 4 . Überprüfe dies an einem selbst gewählten Viereck! 11 . 53 Es sei ABCD ein Viereck. S 1 , S 2 , S 3 , S 4 seien die Schwerpunkte der Teildreiecke BCD, ACD, BDA, ABC. Zeige, dass jede Seite des Vierecks S 1 S 2 S 3 S 4 zu einer Seite des Vierecks ABCD parallel ist! Wie verhalten sich die Seitenlängen der beiden Vierecke? 11 . 54 Zeige: Verbindet man die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten in einem Viereck, so halbieren einander die beiden Verbindungsstrecken. L A B C D L A B C D S R Q P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv