Mathematik verstehen 5, Schulbuch

225 11 . 4 EINFacHE ANWENDUNgEN DER vEktORREcHNUNg IN DER GEOmEtRIE Schwerpunkt eines Dreiecks 11 . 38 Stelle eine Formel für den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC auf! LösUNg: Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Schwerlinien im Verhältnis 1 : 2. Somit gilt: S = A + 2 _ 3 · _ À AM= A + 2 _ 3 (M – A) = 1 _ 3 A + 2 _ 3 M = = 1 _ 3 A + 2 _ 3 4 1 _ 2 (B + C) 5 = 1 _ 3 A + 1 _ 3 (B + C) = 1 _ 3 (A + B + C) Wir halten das Ergebnis der letzten Aufgabe fest: Satz Für den Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC gilt: S = 1 _ 3 · (A + B + C) AUFgabEN 11 . 39 Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks ABC! a) A = (– 4 1 –1), B = (5 1 –1), C = (2 1 8) c) A = (–3 1 2), B = (7 1 – 5), C = (5 1 9) b) A = (– 6 1 – 5), B = (4 1 3), C = (–1 1 5) d) A = (–1 1 – 4), B = (6 1 –1), C = (–7 1 4) 11 . 40 Von einem Dreieck ABC kennt man zwei Eckpunkte und den Schwerpunkt S. Berechne den dritten Eckpunkt! a) B = (4 1 – 3), C = (3 1 3), S = (2 1 1) d) B = (4 1 5), C = (– 6 1 6), S = (–1 1 1) b) A = (5 1 1), C = (–7 1 5), S = (–1 1 2) e) A = (– 4 1 – 2), C = (0 1 6), S = (1 1 0) c) A = (1 1 –1), B = (5 1 2), S = (2 1 2) f) A = (–7 1 0), B = (2 1 – 5), S = (0 1 0) Teilungspunkte einer Strecke 11 . 41 Gegeben sind die Punkte A = (1 1 1) und B = (6 1 3). Berechne die Koordinaten des Punktes T auf der Strecke AB, der diese im Verhältnis 2 : 3 teilt! LösUNg: Wir teilen die Strecke AB in 5 (= 2 + 3) gleich lange Teile. T = A + 2 _ 5 · _ À AB= ( 1 1  ) + 2 _ 5 · ( 5 2  ) = ( 3 1,8  ) 11 . 42 Der Punkt T auf der Strecke AB teilt diese im Verhältnis 1 : 2. Drücke T durch A und B aus! 1 . LösUNgsmögl IcHkEI t : T = A + 1 _ 3 · _ À AB= A + 1 _ 3 · (B – A) = 2 _ 3 · A + 1 _ 3 · B = 1 _ 3 · (2A + B) 2 . LösUNgsmögl IcHkEI t : _ À AT= 1 _ 2 · _ À TB É T – A = 1 _ 2 · (B – T) É T = 1 _ 3 · (2A + B) AUFgabEN 11 . 43 Ermittle den Punkt T auf der Strecke AB, der die Strecke im angegebenen Verhältnis teilt! a) A = (– 6 1 – 5), B = (10 1 7), 3 : 1 c) A = (3 1 –10), B = (12 1 17), 4 : 5 b) A = (– 4 1 6), B = (11 1 1), 1 : 4 d) A = (– 3 1 4), B = (7 1 – 2), 11 : 9 R A B M C S 2 3 AM R R 2. A. 1. A. 1 1 B A T 2 5 AB R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv