Mathematik verstehen 5, Schulbuch

224 11 GEOmEtRIscHE DaRstEllUNg vON vEktOREN UND DEREN REcHENOpERat IONEN 11 . 4 EINFacHE ANWENDUNgEN DER vEktORREcHNUNg IN DER GEOmEtRIE Mittelpunkt einer Strecke 11 . 32 1) Gegeben sind die Punkte A = (–4 1 1) und B = (2 1 3). Ermittle zeichnerisch und rechnerisch den Mittelpunkt M der Strecke AB! 2) Stelle eine allgemeine Formel für den Mittelpunkt einer Strecke AB auf! LösUNg: 1) _ À AB= B – A = ( 2 3  ) – ( – 4 1  ) = ( 6 2  ) M = A + 1 _ 2 · _ À AB= ( – 4 1  ) + 1 _ 2 · ( 6 2  ) = ( –1 2  ) 2) M = A + 1 _ 2 · _ À AB= A + 1 _ 2 · (B – A) = 1 _ 2 · A + 1 _ 2 · B = = 1 _ 2 · (A + B) Wir halten das Ergebnis der letzten Aufgabe fest: Satz Für den Mittelpunkt M einer Strecke AB gilt: M = 1 _ 2 · (A + B) 11 . 33 Von einer Strecke AB kennt man den Endpunkt A = (–2 1 3) und den Mittelpunkt M = (1 1 2). Berechne die Koordinaten des Endpunktes B! 1 . LösUNgsmögl IcHkEI t : M = 1 _ 2 (A + B) w B = 2M – A = 2 · ( 1 2  ) – ( – 2 3  ) = ( 4 1  ) 2 . LösUNgsmögl IcHkEI t : B = A + 2 · _ À AM= ( – 2 3  ) + 2 · ( 3 –1 ) = ( 4 1  ) AUFgabEN 11 . 34 Berechne den Mittelpunkt M der Strecke AB und überprüfe mit Hilfe einer Zeichnung! a) A = (– 3 1 – 4), B = (5 1 6) c) A = (– 5 1 4), B = (3 1 2) b) A = (–1 1 1), B = (7 1 5) d) A = (– 6 1 0), B = (5 1 – 3) 11 . 35 Von einer Strecke AB kennt man einen Endpunkt und den Mittelpunkt M. Berechne den anderen Endpunkt! a) A = (4 1 – 6), M = (– 2 1 – 4) c) A = (– 3 1 4), M = (1 1 –1) b) B = (4 1 5), M = (–1 1 – 3) d) B = (4 1 – 2), M = (–1 1 2) 11 . 36 Von einem Parallelogramm ABCD kennt man die Eckpunkte A, B und den Diagonalenschnitt- punkt M. Berechne die Eckpunkte C und D! a) A = (– 6 1 – 4), B = (0 1 – 2), M = (– 3 1 0) c) A = (–1 1 –1), B = (6 1 – 3), M = (4 1 1,5) b) A = (– 3,5 1 0), B = (2 1 –1,5), M = (–1 1 1,5) d) A = (–1 1 – 4), B = (6 1 0), M = (– 0,5 1 0,5) 11 . 37 Gegeben ist ein Viereck ABCD mit A = (0 1 0), B = (6 1 1), C = (4 1 5), D = (2 1 3). Die Punkte M 1 , M 2 , M 3 , M 4 sind der Reihe nach die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD, DA. Zeige: Die Strecken M 1 M 3 und M 2 M 4 halbieren einander. R 2. A. 1. A. 1 1 A B M R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv